Для решения задачи воспользуемся формулой разложения вектора по векторам.
Пусть Вектор АВ = а, Вектор СА = с и Вектор СО = о.
Тогда по формуле разложения:
о = (с * (АВ/АС)) + (а * (СА/АВ))
Дано, что АВ = 3, BC = 5, СА = 7. Значит, длины векторов а и с равны:
|а| = 3 и |с| = 7.
Также, центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Заметим, что катеты треугольника АBO и трапеции АBCO равны, поскольку это стороны треугольника АВС. Значит, треугольники АОВ и АСО равны, и их биссектрисы являются симметричными относительно середины стороны АС треугольника АВС. Это позволяет утверждать, что длина вектора а равна длине вектора с (|а| = |с| = 7).
Теперь можем вычислить разложение вектора о:
о = (с * (АВ/АС)) + (а * (СА/АВ))
= (7 * (3/7)) + (3 * (7/3))
= (3) + (7)
= 10.
Таким образом, вектор СО раскладывается по векторам АВ и АС как 10.
QED