Дано: Тетраэдр DABC, точки M и N – середины ребер DA и DC соответственно.
а) Нам нужно разложить вектор MC по векторам BA, BD и BC.
Для начала, найдем векторы, которые соответствуют ребрам тетраэдра:
AB = B – A
BD = D – B
BC = C – B
DM = M – D
Теперь разложим вектор MC по векторам BA, BD и BC, используя треугольное неравенство:
MC = MA + AC
MC = MB + BD + DC
MC = MB + BD + BC + CD
MC = MB + BD + BC + MD
Объединяя две последние части, получаем окончательное разложение:
MC = MB + BD + BC + DM
б) Нам нужно разложить вектор AB по векторам DM, DN и DB.
Разложим вектор AB по векторам AM и MB, используя треугольное неравенство:
AB = AM + MB
Разложим вектор AM по векторам DM и DN:
AM = AD + DM
AM = AD + DN – MN
Объединяя все части, получаем окончательное разложение:
AB = AD + DN – MN + MB
Таким образом, мы разложили вектор MC по векторам BA, BD и BC, а вектор AB – по векторам DM, DN и DB.