Шаги решения:
1. Найдем координаты вершин куба AB CDA1B1C1D1. Пусть A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,4,0), D(0,4,0), A1(0,0,4), B1(4,0,4), C1(4,4,4), D1(0,4,4).
2. Найдем векторы d1 и d2, соответствующие диагонали куба и вектору, лежащему в плоскости (B1D1B). Вектор d1 можно найти как разность координат D1 и B, а вектор d2 как разность координат D1 и D.
d1 = D1 – B = (0,4,4) – (4,0,0) = (-4,4,4)
d2 = D1 – D = (0,4,4) – (0,4,0) = (0,0,4)
3. Найдем скалярное произведение векторов d1 и d2.
d1 * d2 = (-4,4,4) * (0,0,4) = -4*0 + 4*0 + 4*4 = 16
4. Найдем длины векторов d1 и d2.
|d1| = √((-4)^2 + 4^2 + 4^2) = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3
|d2| = √(0^2 + 0^2 + 4^2) = √16 = 4
5. Найдем тангенс угла между векторами d1 и d2, используя формулу:
tg(θ) = (d1 * d2) / (|d1| * |d2|) = 16 / (4√3 * 4) = (4 / √3) / 4 = 1 / √3 = √3 / 3
Таким образом, тангенс угла между диагональю куба и плоскостью (B1D1B) равен √3 / 3.