Для доказательства взаимной перпендикулярности двух плоскостей необходимо показать, что векторы нормалей этих плоскостей ортогональны.
1. Обозначим точку A как начало координат, таким образом вектор АА будет нулевым вектором: АА = (0, 0, 0).
2. Найдем координаты точек С, М, Н и Р. Поскольку наш куб имеет диагональ AC = 2√3, то можно представить точку С как вектор: С = (2√3, 0, 0).
Также, так как точки М, Н и Р являются серединами соответствующих сторон, то их координаты будут соответственно половинными значениями координат точек В, С, С и D.
Таким образом, координаты точки М: М = (√3, 0, 0);
координаты точки Н: Н = (√3, √3, 0);
координаты точки Р: Р = (2√3, √3, 0).
3. Теперь найдем векторы МН и МР:
Вектор МН: МН = Н – М = (√3, √3, 0) – (√3, 0, 0) = (0, √3, 0);
Вектор МР: МР = Р – М = (2√3, √3, 0) – (√3, 0, 0) = (√3, √3, 0).
4. Векторное произведение векторов МН и МР равно:
МН × МР = (0, √3, 0) × (√3, √3, 0) = (0, 0, 3√3 – 3√3) = (0, 0, 0).
Поскольку векторное произведение равно нулевому вектору, это означает, что векторы МН и МР ортогональны.
5. Вектор МН × МР ортогонален обоим плоскостям АА и СиМНР. Таким образом, плоскости АА и СиМНР взаимно перпендикулярны.
Таким образом, доказано, что плоскости АА и СиМНР являются взаимно перпендикулярными.