Пусть O – центр окружности, A и B – концы хорды, T – точка касания касательной и окружности. Обозначим малые углы ∠OAT = α и ∠BAO = β.
Так как хорда делит окружность в отношении 5:7, то AO:OB = 5:7. По теореме о разделении хорды AO*OT = BO*OT, то есть AO*OT = BO*OT, тогда AO = BO.
Так как AO = BO, то треугольник ABO – равнобедренный. Следовательно, углы ∠ABO и ∠BAO равны между собой. Обозначим их как γ.
Теперь рассмотрим треугольник OAT. В нем угол ∠OAT = α, а угол ∠OTA = 90°, так как OT – касательная, а радиус окружности OA перпендикулярен к касательной в точке T. Тогда α + 90° + γ = 180° (сумма углов треугольника равна 180°), откуда α = 90° – γ.
Итак, мы нашли соотношение между углами α и γ: α = 90° – γ.
Теперь осталось найти угол, составленный касательной и хордой. Этот угол равен разности углов ∠BAT и ∠BAO. Угол ∠BAT равен α, а угол ∠BAO равен γ. Подставляя значение α = 90° – γ, получаем, что искомый угол равен α – γ = 90° – γ – γ = 90° – 2γ.
Таким образом, угол, составленный касательной и хордой, равен 90° – 2γ.