Для начала обозначим данную плоскость 1 как P. Плоскость P проходит через треугольник 1, и диагонали параллелепипеда равны, значит, на плоскости P лежит еще одна диагональ параллелепипеда, проходящая из вершины 1 в вершину .
Рассмотрим треугольники 1 и 1, которые лежат на плоскости P. Используем обозначения: ( 1, 1, 1), ( 2, 2, 2), 1( 3, 3, 3), 1( 4, 4, 4).
Вектор, идущий от к : 1 = − = ( 2 − 1, 2 − 1, 2 − 1),
Вектор, идущий от к 1: 2 = 1 − = ( 3 − 1, 3 − 1, 3 − 1).
Сечение плоскостью 1 будет прямоугольником, если векторы 1 и 2 будут перпендикулярными.
То есть, если их скалярное произведение будет равно нулю. Пользуясь этим рассуждением, найдем скалярное произведение:
1 · 2 = ( 2 − 1)( 3 − 1) + ( 2 − 1)( 3 − 1) + ( 2 − 1)( 3 − 1).
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
1 · 2 = 2 3 − 2 1 − 1 3 + 1² + 2 3 − 2 1 − 1 3 + 1² + 2 3 − 2 1 − 1 3 + 1²
Теперь разберемся с каждым членом выражения:
2 3 − 2 1 − 1 3 + 1² = 1² + 2 3 − 2 1 − 1 3
Мы видим, что 1² уже присутствует и меняется на 2 3. Оставшиеся члены делятся пополам, и мы получаем:
2 3 − 2 1 − 1 3 + 1² = ( 1 − 3)( 2 − 1)
Аналогично, можно получить:
2 3 − 2 1 − 1 3 + 1² = ( 1 − 3)( 2 − 1)
2 3 − 2 1 − 1 3 + 1² = ( 1 − 3)( 2 − 1)
Таким образом:
1 · 2 = ( 1 − 3)( 2 − 1) + ( 1 − 3)( 2 − 1) + ( 1 − 3)( 2 − 1) = 0
Мы показали, что скалярное произведение векторов 1 и 2 равно нулю. Значит, эти векторы перпендикулярны, и сечение плоскостью 1 будет прямоугольником.