Пусть стороны параллелограмма равны a и b, а радиус вписанной окружности равен r.
Периметр параллелограмма равен 2(a + b) = 8√3 см. Отсюда получаем, что a + b = 4√3 см.
Также известно, что диагонали параллелограмма делятся пополам окружностью. Поэтому, если мы найдём половину диагонали параллелограмма, то получим радиус окружности.
Рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали параллелограмма, радиусом окружности и отрезком, соединяющим центр окружности с точкой пересечения диагонали и окружности (см. рисунок ниже).
—-|—-
| / |
| /r|
| / |
|/___|______
p/2 p/2
По теореме косинусов в этом треугольнике имеем:
p/2 = r + r – 2r*cos(150°)
Отсюда получаем:
p = 4r – 2r*cos(150°) (*)
Мы уже знаем, что p = 4√3 см. Подставим это значение в уравнение (*) и решим его:
4√3 = 4r – 2r*cos(150°)
4r – 2r*cos(150°) = 4√3
Раскроем косинус 150°: cos(150°) = -√3/2
4r – 2r*(-√3/2) = 4√3
4r + √3*r = 4√3
Разделим обе части уравнения на √3:
(4/√3)*r + r = 4
Упростим: (4√3/3)*r + r = 4
Домножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знака корня:
4√3*r + 3*r = 12
(4√3 + 3)*r = 12
r = 12 / (4√3 + 3)
Подставим это значение в калькулятор и получим:
r ≈ 0.576 см
Таким образом, радиус вписанной окружности примерно равен 0.576 см.