В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC. Точка M – середина ребра SA, точка K – середина рёбра SB. Кроме того известно, что SC = 6, BC = 4. a) Докажите, что BMC – равнобедренный, остроугольный треугольник. б) Найдите угол между плоскостями CMK и ABC

а) Чтобы доказать, что треугольник BMC – равнобедренный, нужно показать, что BM = MC.

Мы знаем, что M – середина ребра SA, поэтому AM = MS. Также K – середина ребра SB, поэтому BK = KS.

Так как треугольник ABC правильный, то AM перпендикулярно плоскости ABC и также перпендикулярна BC. Аналогично, BK перпендикулярно плоскости ABC и BC. Следовательно, AM || BC и BK || BC.

Три параллельных прямых AM, BC и BK образуют плоскость, и тогда плоскость ABC должна пересекать плоскость MBK под прямым углом.

Так как BK || BC и MBК пересекает BC под прямым углом, то MBK было перпендикулярно BC и также перпендикулярно плоскости ABC. Аналогично, MCK будет перпендикулярно BC и плоскости ABC.

То есть, M находится на высоте треугольника ABC, проведенной из центра основания к основанию, и прямые MC и DK касаются основания ABC под прямыми углами.

Так как M – середина SA, BM = MS и BM также равен MC.

Отсюда следует, что BMC – равнобедренный треугольник.

б) Чтобы найти угол между плоскостями CMK и ABC, мы можем найти угол между векторами нормалей к этим плоскостям.

Нормаль к плоскости CMK будет перпендикулярна линии, проходящей через M и лежащей в плоскости ABC. Но так как нам нужен угол между плоскостями CMK и ABC, то искомый угол будет равен углу между нормалью к плоскости CMK и нормалью к плоскости ABC.

Нормаль к плоскости ABC будет равна векторному произведению векторов AB и AC.

Вектор AB = B – A = (0 – 4)i + (0 – 0)j + (0 – 0)k = -4i

Вектор AC = C – A = (0 – 4)i + (0 – 0)j + (6 – 0)k = -4i + 6k

Теперь найдем векторное произведение:

n_abc = AB x AC = (0j – 0k)i + (0k – 6i)j + ((-4)i – (-4i))k = 6ij = 6k

Нормаль к плоскости CMK будет перпендикулярна вектору BM (равен MC).

Вектор BM = B – M = (0 – 2)i + (0 – 0)j + (0 – 0)k = -2i

Так как это вектор в плоскости ABC, нормаль к плоскости CMK будет перпендикулярна -2i.

Теперь найдем угол между этими векторами:

cosθ = (n_abc · n_cmk) / (|n_abc| · |n_cmk|) = (0 + 0 + 6*(-2)) / (6 * 2) = -1/2

θ = arccos(-1/2) ≈ 120°

Таким образом, угол между плоскостями CMK и ABC составляет примерно 120°.