Сначала найдем вектор AD, который и будет нашей высотой.
Вектор AD = D – A = (5, 9, 3) – (-1, -1, 2) = (6, 10, 1)
Теперь найдем вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежит треугольник ABC, через его нормальные векторы. Для этого воспользуемся формулой смешанного произведения:
([AB, AC], AD) = 0
Найдем векторы AB и AC:
AB = B – A = (-4, -6, 1) – (-1, -1, 2) = (-3, -5, -1)
AC = C – A = (3, 4, 3) – (-1, -1, 2) = (4, 5, 1)
Теперь найдем смешанное произведение:
[AB, AC] = (AB × AC) = (-3, -5, -1) × (4, 5, 1) = (4, -7, -23)
Используем формулу смешанного произведения:
(4, -7, -23)·(6, 10, 1) = 0
Раскроем и решим это уравнение:
4·6 + (-7)·10 + (-23)·1 = 0
24 – 70 – 23 = 0
-23 – 70 + 24 = 0
-69 = 0
Противоречие! Значит, точка D не лежит в той же плоскости, что и треугольник ABC. Высота Н отсутствует.
Ответ: Высоты из вершины D нет.