Пусть AB = a и AD = b. Так как точка E делит сторону ВС пополам, то EB = EC = c. Пусть AE = x. Так как AE перпендикулярна DE, то треугольники ADE и AEB равны по теореме о катете.
Таким образом, DE = x и DB = b – x.
По условию задачи периметр прямоугольника равен 18.
Из этого следует 2(a + b) = 18, что равносильно a + b = 9.
Теперь рассмотрим площадь прямоугольника ABCD. Она равна произведению его сторон, то есть (a + c)(b + c) = ab + ac + bc + c^2.
Заменим значения ac и bc с помощью равенств из треугольников:
ab + (AE)(DE) + (BE)(DE) + c^2 = ab + x(x) + x(b-x) + c^2 = ab + x^2 + bx – x^2 + c^2 = ab + bx + c^2.
Теперь заменим значения a + b и c с помощью условий задачи:
ab + bx + c^2 = 9x + c^2.
Мы знаем, что c = b – x (из равенства EB = EC), поэтому:
ab + bx + c^2 = 9x + (b – x)^2 = 9x + b^2 – 2bx + x^2.
Нам также дано, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Поэтому должно быть верно равенство ab = 9x + b^2 – 2bx + x^2.
Мы знаем, что ab = 9 – b из условия задачи. Подставим это значение:
9 – b = 9x + b^2 – 2bx + x^2.
Мы можем переписать это уравнение в квадратном виде:
x^2 + (-2b + 9)x + (b^2 – 9) = 0.
Решим это квадратное уравнение и найдем значения x. Чтобы найти площадь прямоугольника, подставим найденные значения x в выражение ab + bx + c^2.
