В прямоугольнике ABCD точки F и G лежат на AB так, что AF=FG=GB и E — середина DC . Кроме того, AC пересекает EF в точке H и EG в точке J . Площадь треугольника EHJ равна 3 . Найдите площадь прямоугольника ABCD

Обозначим стороны прямоугольника следующим образом: AB – а, BC – b. Также пусть AF = x. Тогда FG = GB = x и EF = FG = GB = x.

По условию, точка E – середина стороны DC. Тогда DE = EC = b/2.

Рассмотрим треугольник ADE. Так как AF = x, то AD = AE = (a – x). Площадь треугольника ADE равна (AD * DE) / 2 = ((a – x) * (b/2)) / 2 = (ab – bx) / 4.

Также, площадь треугольника EHJ равна (HE * EJ) / 2 = ((a – x – b/2) * (b/2)) / 2 = ((2a – 2x – b) * b) / 8 = (2ab – 2bx – b^2) / 8.

По условию, площадь треугольника EHJ равна 3. Получаем уравнение:

(2ab – 2bx – b^2) / 8 = 3

Упрощаем:

2ab – 2bx – b^2 = 24

Так как AF = x, то AG = 2x. Площадь прямоугольника ABCD равна (AB * BC) = (a * b).

Учитывая, что AF = FG = GB = x, получаем:

2x = a – x

3x = a

Также, AG = 2x = 2 * 3x/3 = 6x/3 = 2x.

Подставим значение a = 3x и AG = 2x в уравнение 2ab – 2bx – b^2 = 24:

2(3x)b – 2bx – b^2 = 24
6xb – 2bx – b^2 = 24
4xb – b^2 = 24
b(4x – b) = 24

Заметим, что правая часть уравнения – это 24, что делится на 8 без остатка. Тогда левая часть (b(4x – b)) тоже должна делиться на 8 без остатка.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть 4x – b = 8, тогда 4x = b + 8. Подставим это значение в выражение для площади прямоугольника ABCD:

Площадь ABCD = (a * b) = (3x * (b + 8)) = 3xb + 24x

2. Пусть 4x – b = 4, тогда 4x = b + 4. Подставим это значение в выражение для площади прямоугольника ABCD:

Площадь ABCD = (a * b) = (3x * (b + 4)) = 3xb + 12x

Таким образом, мы получили два выражения для площади прямоугольника ABCD в зависимости от значений x и b.

Решив полученные уравнения, можно найти значения площади прямоугольника ABCD.