В прямоугольнике ABCD точки F и G лежат на AB так, что AF=1/3FG=GB и Е-середина DC. Кроме того, AC пересекает EF в точке H и EG в точке J. Площадь треугольника EHJ равна 15. Найдите площадь прямоугольника ABCD

Пусть длина стороны прямоугольника ABCD равна a, а высота равна b. Также пусть AF = x и FG = y.

Точка E является серединой стороны DC, поэтому DE = EC = b/2.

Из условия задачи, AF = 1/3FG, то есть x = y/3. Также AF = 1/3GB, поэтому x = (a – y)/3.

Тогда, суммируя эти два уравнения, получаем y/3 + (a – y)/3 = x + x, что эквивалентно y + a – y = 6x.

Решаем это уравнение относительно x: 6x = a ⟹ x = a/6.

Теперь мы знаем, что x = a/6 и y = 3x = a/2.

Так как H лежит на прямой AC, то EH = EC – HC = b/2 – HC. Также EH/HJ = FG/GJ = y/x.

Из площади треугольника EHJ равной 15, мы знаем, что EH * HJ / 2 = 15.

Используя EH = b/2 – HC и HJ = HC, мы можем переписать это уравнение как (b/2 – HC) * HC / 2 = 15.

Раскрываем скобки и упрощаем выражение: bHC/2 – HC^2/2 = 15.

Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей: bHC – HC^2 = 30.

Теперь зная, что HC = HJ = a/6 (так как x = a/6), мы можем подставить это значение в уравнение: ba/6 – (a/6)^2 = 30.

Упрощаем: ba/6 – a^2/36 = 30 ⟹ a(b – a/6) = 180.

Так как мы ищем площадь прямоугольника ABCD, то площадь равна S = a * b.

Podemos utilizar el hecho de que AF = 1/3FG, es decir, x = y / 3. Además, AF = 1/3GB, por lo que x = (a – y) / 3.

Entonces, sumando estas dos ecuaciones, obtenemosy/3 + (a – y)/3 = x + x, que es equivalente a y + a – y = 6x.

Resolviendo esta ecuación para x: 6x = a ⟹ x = a/6.

Ahora sabemos que x = a/6 y y = 3x = a/2.

Como H se encuentra en la línea AC, entonces EH = EC – HC = b/2 – HC. Además, EH/HJ = FG/GJ = y/x.

De la ecuación de que la área del triángulo EHJ es igual a 15, sabemos que EH * HJ / 2 = 15.

Usando EH = b/2 – HC y HJ = HC, podemos reescribir esta ecuación como (b/2 – HC) * HC / 2 = 15.

Desarrollamos la ecuación y simplificamos: bHC/2 – HC^2/2 = 15.

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2 para eliminar las fracciones: bHC – HC^2 = 30.

Ahora, sabiendo que HC = HJ = a/6 (ya que x = a/6), podemos sustituir este valor en la ecuación: ba/6 – (a/6)^2 = 30.

Simplificamos: ba/6 – a^2/36 = 30 ⟹ a(b – a/6) = 180.

Como estamos buscando el área del rectángulo ABCD, el área es igual a S = a * b.

Из уравнения a(b – a/6) = 180, мы можем найти b – a/6 = 180 / a.

Теперь, используя это значение, мы можем найти площадь прямоугольника ABCD: S = a * b = a * (b – a/6) = a * (180 / a) = 180.

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 180.