Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов.
1. Обозначим стороны треугольника PSQ следующим образом: PS = a, PQ = b и SQ = c.
2. Так как угол S прямой, то это значит, что сторона SQ является гипотенузой треугольника PSQ.
3. Из уравнения Пифагора получаем:
a^2 + b^2 = c^2 (1)
4. Угол PRQ равен 120°, а сторона PR равна RQ. Так как треугольник PQR равнобедренный, то это значит, что угол PQR также равен 120°.
5. Используем косинусную теорему для нахождения стороны PQ:
b^2 = a^2 + R^2 – 2aR * cos(120°) (2)
6. Учитывая, что cos(120°) = -1/2, упрошаем уравнение (2):
b^2 = a^2 + R^2 + aR
7. Так как PR = RQ, то a = c – R.
8. Подставляем выражение для a в уравнение (7):
b^2 = (c – R)^2 + R^2 + (c – R)R
9. Раскрываем скобки:
b^2 = c^2 – 2cR + R^2 + R^2 + cR – R^2
10. Упрощаем уравнение (9):
b^2 = c^2 + cR – 2cR + R^2
11. Как видно, R^2 сокращается:
b^2 = c^2 – cR
12. Из уравнения (1) заменяем c^2 на a^2 + b^2:
b^2 = a^2 + b^2 – cR
13. Упрощаем уравнение (12):
0 = a^2 – cR
14. Из равенства a = c – R заменяем a на c – R в уравнении (13):
0 = (c – R)^2 – cR
15. Раскрываем скобку:
0 = c^2 – 2cR + R^2 – cR
16. Упрощаем уравнение (15):
0 = c^2 – 3cR + R^2
17. Факторизуем уравнение (16):
(c – R)(c – 2R) = 0
18. Решаем уравнение (17):
c – R = 0 или c – 2R = 0
19. Вариант c – R = 0 приводит к невозможной ситуации, так как в этом случае R было бы равно гипотенузе SQ.
20. Решаем уравнение c – 2R = 0:
c = 2R
21. Подставляем значение c = 2R в уравнение a = c – R:
a = 2R – R = R
22. Значит, PS = a = R = 7.
23. Из уравнения Пифагора (1) получаем:
7^2 + b^2 = (2R)^2
49 + b^2 = 4R^2
24. Учитывая, что R = 7, упрощаем уравнение (23):
49 + b^2 = 4 * 7^2
49 + b^2 = 196
b^2 = 196 – 49
b^2 = 147
25. Извлекаем квадратный корень:
b = √147
26. Округляем результат до двух десятичных знаков:
b ≈ 12.12
27. Итак, PQ ≈ 12.12.