Обозначим точку пересечения высот AN и BM как точку P. Так как треугольник ABC является равнобедренным, то AM = MC.
Поскольку BN : NC = 4 : 1, значит, отношение BP : PM также будет равно 4 : 1, поскольку NP является общим отрезком в этих двух отношениях.
Таким образом, мы имеем отношение BP : PM = 4 : 1.
Теперь рассмотрим треугольник ANP. При условии, что треугольник ABC равнобедренный, угол ABN равен углу ANC и AN является высотой, а BN и NC – это его отрезки, деленные в отношении 4 : 1. Это означает, что BN и NC делят угол ANC на 4 части и 1 часть соответственно. Таким образом, ANP будет иметь такое же отношение BN : NC как BCN, то есть 4 : 1.
Таким образом, отношение AN : NP = 4 : 1.
Теперь мы можем сопоставить отношения ANP и BMP. Мы знаем, что отношение ANP = 4 : 1, а отношение BP : PM = 4 : 1.
Поскольку оба отношения содержат NP в числителе и PM в знаменателе, то приравняв их, мы получаем:
AN / NP = BP / PM
Если мы выразим PM из второго отношения, получим:
PM = BP / 4
Теперь подставим это в первое отношение:
AN / NP = BP / (BP / 4) = 4
Таким образом, мы получаем, что отношение AN к NP равно 4 : 1.
Итак, отношение, в котором AN делит высоту BM, также будет равно 4 : 1.