Пусть стороны треугольника GHK равны a, b и c. Расположим биссектрису HD треугольника GHK так, чтобы точка D лежала на стороне GK, а точка H – на стороне GH. По условию, дано, что GH/HD = 1/2 и DK/HD = 3/1.
Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: отношение длин сторон, на которые она делит противоположную ей сторону, равно отношению длин других двух сторон треугольника. Запишем это свойство для треугольника GHK:
GH/HD = GK/DK.
Подставим значения из условия и произведем несложные преобразования:
GH/(1/2) = GK/(3/1),
2GH = 2GK/3,
GH = GK/3.
Теперь воспользуемся свойством биссектрисы треугольника еще раз, но на этот раз для треугольника GDK:
GD/DH = GK/HK.
Подставим значения из условия и произведем преобразования:
1,2/(1/2) = GK/(c/3),
2,4 = 2GK/3c,
GK = 3c/2,4.
Таким образом, мы выразили GH через GK и GK через c. Подставим найденные выражения в исходное условие периметра треугольника:
a + b + c = 11,2.
Заменим стороны треугольника используя полученные выражения:
3c/2,4 + (3c/2,4)(1/3) + c = 11,2.
Произведем несложные вычисления для нахождения стороны c. Получим:
c = 2,4.
Подставим найденное значение c в найденные выражения GK = 3c/2,4 и GH = GK/3:
GK = 3(2,4)/2,4 = 3,
GH = 3/3 = 1.
Таким образом, стороны треугольника GHK равны 1, 2,4 и 3.