В треугольной пирамиде SABC точки М и Т – точки пересечения медиан треугольников ABC и SBC соответственно, точки Р и К принадлежат рёбрам AC и SB соответственно, АР : PC = 1:2, SK: KB = 2: 3. Разложите векторы РК, АТ, МТ, МК по векторам SA = а, SB = b, SC = с​

Сначала найдем векторы МК и МТ:

Поскольку М – точка пересечения медиан треугольников ABC, вектор МК будет равен сумме векторов МА и МВ, умноженных на коэффициенты 2 и 1 соответственно, так как М делит МК в отношении 2:1:

МК = 2*МА + 1*МВ

Аналогично, вектор МТ будет равен сумме векторов МА и МС, умноженных на коэффициенты 1 и 1 соответственно:

МТ = 1*МА + 1*МС

Теперь найдем векторы РК и РА:

Поскольку АР делится в отношении 1:2, вектор РА будет равен сумме векторов А и С, умноженных на коэффициенты 1 и 2 соответственно:

РА = 1*А + 2*С

Аналогично, вектор РК будет равен сумме векторов К и В, умноженных на коэффициенты 2 и 3 соответственно:

РК = 2*К + 3*В

Таким образом, разложение вектора РК по векторам SA, SB и SC будет состоять из соответствующих коэффициентов при векторах А, В и С:

РК = 2*К + 3*В = 2*(0,5*SA + 0,5*SC) + 3*SB = 1*SA + 1*SC + 3*SB = SA + SB + 2*SB + SC

Аналогично, разложение векторов АТ и МТ будет выглядеть следующим образом:

АТ = 1*А + 1*С + 0,5(0,5*SA + 0,5*SC) = 0,5*SA + 0,5*SC + 1*А + 1*С = (0,5*SA + 1*А) + (0,5*SC + 1*С) = (0,5*SA + 1*А) + (1*SC + 0,5*С)

МТ = 1*МА + 1*МС = 1*(0,5*SA + 0,5*SC) + 1*(1*А + 1*С) = 0,5*SA + 0,5*SC + 1*А + 1*С = (0,5*SA + 1*А) + (0,5*SC + 1*С)

Таким образом, разложение векторов РК, АТ, МТ, МК по векторам SA, SB и SC будет состоять из соответствующих коэффициентов при векторах А, В и С.