Два вектора называются коллинеарными, если они пропорциональны. Из условия задачи следует, что вектор 1 коллинеарен вектору ka + 25b и вектор z коллинеарен вектору a + kb.
Для нахождения значения к в первом случае, нам нужно найти такое значение к, при котором векторы 1 и ka + 25b будут пропорциональны. Пусть вектор 1 имеет координаты (x1, y1, z1), а вектор ka + 25b имеет координаты (x2, y2, z2).
Для векторов быть коллинеарными, их координаты должны удовлетворять следующему условию пропорциональности: x1/x2 = y1/y2 = z1/z2.
Заметим, что x1/x2 = y1/y2, так как x1 = ka и y1 = 25b. Таким образом, мы можем записать круглые скобки: ka/x2 = 25b/y2.
Также, z1/z2 = 1/k.
Следовательно, у нас есть два уравнения:
ka/x2 = 25b/y2,
z1/z2 = 1/k.
Выразим x2 и y2 через k и a, b:
x2 = ka/(25b/y2),
y2 = 25b.
Подставим выражения для x2 и y2 во второе уравнение:
z1/z2 = 1/k.
Получим z1 = (1/k)*z2.
Так как z1 = 1 и z2 = (a + kb), подставим значения:
1 = (1/k)*(a + kb).
Умножим обе части уравнения на k и получим:
k = (a + kb).
Распишем правую часть уравнения:
k = a + kb,
k – kb= a,
k(1 – b) = a.
Таким образом, значения k, при которых векторы 1 = ka + 25b и z = a + kb коллинеарны, равны k = a/(1 – b).
Проверим, что эти значения удовлетворяют обоим условиям:
Для вектора 1 и ka + 25b:
1 = ka + 25b,
1/(ka + 25b) = 1/k = (ka + 25b)/(ka + 25b) = 1/1 = 1.
Для вектора z и a + kb:
1/k = (a + kb),
1/k = a/(1 – b) + b/(1 – b),
1/k = (a + b)/(1 – b).
Таким образом, значения k = a/(1 – b) удовлетворяют обоим условиям и делают векторы 1 и ka + 25b, а также z и a + kb коллинеарными.