Пусть стороны первого треугольника имеют длины 3x, 4x и 5x (сответственно, с использованием множителя x). Пусть стороны второго треугольника имеют длины 7y, 14y и 21y (сответственно, с использованием множителя y).
Так как отношение периметров двух треугольников равно 3:7, имеем:
3x + 4x + 5x = 3k
7y + 14y + 21y = 7k
где k – общий множитель для периметров двух треугольников.
Приравниваем сумму площадей треугольников к 116 см²:
(1/2) * 3x * 4x + (1/2) * 7y * 14y = 116
Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:
6x² + 49y² = 232
Решив систему уравнений
(1/2) * 3x * 4x + (1/2) * 7y * 14y = 116
6x² + 49y² = 232
получаем два возможных решения:
x = 2 и y = 2
или
x = -2/3 и y = -2/3.
Так как длины сторон треугольников не могут быть отрицательными, выбираем первое решение, x = 2 и y = 2.
Таким образом,
стороны первого треугольника равны 6, 8 и 10,
а стороны второго треугольника равны 14, 28 и 42.
Площади треугольников можно вычислить с помощью формулы Герона:
S₁ = √(p₁ * (p₁ – a₁) * (p₁ – b₁) * (p₁ – c₁))
S₂ = √(p₂ * (p₂ – a₂) * (p₂ – b₂) * (p₂ – c₂))
где a₁, b₁, c₁ – стороны первого треугольника,
a₂, b₂, c₂ – стороны второго треугольника,
p₁, p₂ – полупериметры первого и второго треугольников.
Подставляя значения, получим:
S₁ = √(9 * 3 * 4 * 5) = √(9 * 60) = √540 ≈ 23.237
S₂ = √(21 * 7 * 14 * 28) = √(21 * 28224) ≈ 502
Таким образом, площади треугольников равны примерно 23.237 см² и 502 см²..