y = cos(x)+2

$$f{left (x right )} = cos{left (x right )} + 2$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$cos{left (x right )} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) + 2.
$$cos{left (0 right )} + 2$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 3)

(pi, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(cos{left (x right )} + 2right) = langle 1, 3rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle 1, 3rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(cos{left (x right )} + 2right)right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$cos{left (x right )} + 2 = cos{left (x right )} + 2$$
– Да
$$cos{left (x right )} + 2 = – cos{left (x right )} – 2$$
– Нет
значит, функция
является
чётной