y = sin(3-4*x)^(2)

$$f{left (x right )} = sin^{2}{left (- 4 x + 3 right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$sin^{2}{left (- 4 x + 3 right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = frac{3}{4}$$
$$x_{2} = frac{3}{4} + frac{pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -45.5884916606$$
$$x_{2} = 6.24778714544$$
$$x_{3} = 73.7920291448$$
$$x_{4} = 38.449111982$$
$$x_{5} = -95.8539740235$$
$$x_{6} = 82.4314087788$$
$$x_{7} = 47.8738898518$$
$$x_{8} = 43.9468990281$$
$$x_{9} = 2.32079628725$$
$$x_{10} = -18.0995558697$$
$$x_{11} = 32.1659266179$$
$$x_{12} = 68.2942420243$$
$$x_{13} = 28.2389357275$$
$$x_{14} = -33.8075191374$$
$$x_{15} = -37.7345100174$$
$$x_{16} = 64.3672511877$$
$$x_{17} = 21.9557504486$$
$$x_{18} = -78.5752145408$$
$$x_{19} = 24.3119448658$$
$$x_{20} = -62.0818530216$$
$$x_{21} = 51.8008804843$$
$$x_{22} = -87.9999924639$$
$$x_{23} = -3.96238904808$$
$$x_{24} = -47.9446862562$$
$$x_{25} = 90.2853906042$$
$$x_{26} = -15.7433614362$$
$$x_{27} = 7.81858343877$$
$$x_{28} = 60.4402604953$$
$$x_{29} = -0.0353981317987$$
$$x_{30} = -31.4513244293$$
$$x_{31} = -41.6615008683$$
$$x_{32} = -69.9358348565$$
$$x_{33} = 69.8650384234$$
$$x_{34} = 25.8827412789$$
$$x_{35} = 40.0199081408$$
$$x_{36} = -1.60619452892$$
$$x_{37} = 94.2123814761$$
$$x_{38} = -66.008843879$$
$$x_{39} = -44.0176952954$$
$$x_{40} = -55.7986677218$$
$$x_{41} = 72.2212328928$$
$$x_{42} = 18.0287595483$$
$$x_{43} = -14.1725651071$$
$$x_{44} = -67.5796402186$$
$$x_{45} = -25.9535376495$$
$$x_{46} = 14.1017687637$$
$$x_{47} = 82.4314090251$$
$$x_{48} = 62.0110567302$$
$$x_{49} = -58.1548622257$$
$$x_{50} = 29.8097319691$$
$$x_{51} = -40.0907044453$$
$$x_{52} = -59.7256585982$$
$$x_{53} = 91.8561869933$$
$$x_{54} = 87.9291961847$$
$$x_{55} = -84.0730015987$$
$$x_{56} = 20.3849540415$$
$$x_{57} = 46.3030934448$$
$$x_{58} = -89.5707887674$$
$$x_{59} = -11.8163705524$$
$$x_{60} = -81.7168071786$$
$$x_{61} = -70.7212328366$$
$$x_{62} = 54.1570752003$$
$$x_{63} = -80.1460107924$$
$$x_{64} = -63.6526494451$$
$$x_{65} = 50.2300843099$$
$$x_{66} = -19.6703522908$$
$$x_{67} = -11.8163706676$$
$$x_{68} = 76.1482237696$$
$$x_{69} = -77.7898163058$$
$$x_{70} = 86.3583997627$$
$$x_{71} = -23.5973430967$$
$$x_{72} = 65.9380476068$$
$$x_{73} = -36.1637136632$$
$$x_{74} = -22.0265467131$$
$$x_{75} = 10.1747780329$$
$$x_{76} = 84.0022053174$$
$$x_{77} = -85.6437980212$$
$$x_{78} = -99.7809648893$$
$$x_{79} = 42.3761026139$$
$$x_{80} = 3.89159270504$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(3 – 4*x)^2.
$$sin^{2}{left (- 0 + 3 right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = sin^{2}{left (3 right )}$$
Точка:

(0, sin(3)^2)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{3}{4}$$
$$x_{2} = frac{3}{4} + frac{pi}{4}$$
$$x_{3} = frac{3}{4} + frac{3 pi}{8}$$
$$x_{4} = frac{pi}{8} + frac{3}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(3/4, 0)

3 pi
(- + –, 0)
4 4

3 3*pi
(- + —-, 1)
4 8

3 pi
(- + –, 1)
4 8

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = frac{3}{4}$$
$$x_{4} = frac{3}{4} + frac{pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = frac{3}{4} + frac{3 pi}{8}$$
$$x_{4} = frac{pi}{8} + frac{3}{4}$$
Убывает на промежутках

[3/4, pi/8 + 3/4] U [3/4 + pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 3/4]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{3 pi}{16} + frac{3}{4}$$
$$x_{2} = – frac{pi}{16} + frac{3}{4}$$
$$x_{3} = frac{pi}{16} + frac{3}{4}$$
$$x_{4} = frac{3 pi}{16} + frac{3}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[3*pi/16 + 3/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -pi/16 + 3/4] U [pi/16 + 3/4, 3*pi/16 + 3/4]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} sin^{2}{left (- 4 x + 3 right )} = langle 0, 1rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle 0, 1rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(3 – 4*x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} sin^{2}{left (- 4 x + 3 right )}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$sin^{2}{left (- 4 x + 3 right )} = sin^{2}{left (4 x + 3 right )}$$
– Нет
$$sin^{2}{left (- 4 x + 3 right )} = – sin^{2}{left (4 x + 3 right )}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной