y = x^3+12*x^2+15

$$f{left (x right )} = x^{3} + 12 x^{2} + 15$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + 12 x^{2} + 15 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – frac{1}{3} sqrt[3]{frac{27 sqrt{4065}}{2} + frac{3861}{2}} – 4 – frac{48}{sqrt[3]{frac{27 sqrt{4065}}{2} + frac{3861}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -12.1024111987$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 12*x^2 + 15.
$$0^{3} + 12 cdot 0^{2} + 15$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 15$$
Точка:

(0, 15)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(-8, 271)

(0, 15)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -8$$
Убывает на промежутках

(-oo, -8] U [0, oo)

Возрастает на промежутках

[-8, 0]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -4]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(x^{3} + 12 x^{2} + 15right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 12*x^2 + 15, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(x^{3} + 12 x^{2} + 15right)right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} + 12 x^{2} + 15 = – x^{3} + 12 x^{2} + 15$$
– Нет
$$x^{3} + 12 x^{2} + 15 = – -1 x^{3} – 12 x^{2} – 15$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной