y = x^4-x^2-4

$$f{left (x right )} = x^{4} – x^{2} – 4$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} – x^{2} – 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – sqrt{frac{1}{2} + frac{sqrt{17}}{2}}$$
$$x_{2} = sqrt{frac{1}{2} + frac{sqrt{17}}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.60048518044$$
$$x_{2} = 1.60048518044$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 – x^2 – 4.
$$-4 + 0^{4} – 0$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = -4$$
Точка:

(0, -4)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = frac{sqrt{2}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -4)

___
-/ 2
(——-, -17/4)
2

___
/ 2
(—–, -17/4)
2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = – frac{sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = frac{sqrt{2}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках

[-sqrt(2)/2, 0] U [sqrt(2)/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -sqrt(2)/2] U [0, sqrt(2)/2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{sqrt{6}}{6}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{6}}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -sqrt(6)/6] U [sqrt(6)/6, oo)

Выпуклая на промежутках

[-sqrt(6)/6, sqrt(6)/6]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(x^{4} – x^{2} – 4right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 – x^2 – 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(x^{4} – x^{2} – 4right)right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} – x^{2} – 4 = x^{4} – x^{2} – 4$$
– Да
$$x^{4} – x^{2} – 4 = – x^{4} – – x^{2} + 4$$
– Нет
значит, функция
является
чётной