y = x^3-6*x^2+9*x+3

$$f{left (x right )} = 9 x + x^{3} – 6 x^{2} + 3$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$9 x + x^{3} – 6 x^{2} + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – frac{1}{3} sqrt[3]{frac{27 sqrt{21}}{2} + frac{135}{2}} – frac{3}{sqrt[3]{frac{27 sqrt{21}}{2} + frac{135}{2}}} + 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.279018786167$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 – 6*x^2 + 9*x + 3.
$$0^{3} – 0 + 0 cdot 9 + 3$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 7)

(3, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1] U [3, oo)

Возрастает на промежутках

[1, 3]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(9 x + x^{3} – 6 x^{2} + 3right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 – 6*x^2 + 9*x + 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(9 x + x^{3} – 6 x^{2} + 3right)right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$9 x + x^{3} – 6 x^{2} + 3 = – x^{3} – 6 x^{2} – 9 x + 3$$
– Нет
$$9 x + x^{3} – 6 x^{2} + 3 = – -1 x^{3} – – 6 x^{2} – – 9 x – 3$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной