y = x^3+6*x^2-9*x+8

$$f{left (x right )} = – 9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 8$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – frac{1}{3} sqrt[3]{189 sqrt{2} + 567} – frac{21}{sqrt[3]{189 sqrt{2} + 567}} – 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -7.36871502521$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 6*x^2 – 9*x + 8.
$$0^{3} + 6 cdot 0^{2} – 0 + 8$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 8$$
Точка:

(0, 8)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2 + sqrt{7}$$
$$x_{2} = – sqrt{7} – 2$$
Зн. экстремумы в точках:

3 2
___ / ___ ___ / ___
(-2 + / 7, 26 + -2 + / 7 / – 9*/ 7 + 6* -2 + / 7 / )

3 2
___ / ___ / ___ ___
(-2 – / 7, 26 + -2 – / 7 / + 6* -2 – / 7 / + 9*/ 7 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2 + sqrt{7}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = – sqrt{7} – 2$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(7) – 2] U [-2 + sqrt(7), oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(7) – 2, -2 + sqrt(7)]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(- 9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 8right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 6*x^2 – 9*x + 8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(- 9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 8right)right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 8 = – x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 8$$
– Нет
$$- 9 x + x^{3} + 6 x^{2} + 8 = – -1 x^{3} – 6 x^{2} – 9 x – 8$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной