Первым шагом необходимо выделить полные квадраты в уравнении 5x^2 + 9y^2 − 30x + 18y + 9 = 0.
Для этого перегруппируем слагаемые:
5x^2 – 30x + 9 + 9y^2 + 18y = 0.
Далее, выделим полный квадрат по переменной x, добавив и вычтя соответствующую константу:
5(x^2 – 6x + 9) + 9y^2 + 18y = 0.
Аналогично для переменной y:
5(x – 3)^2 + 9(y^2 + 2y) = 0.
Получаем:
5(x – 3)^2 + 9(y^2 + 2y + 1) – 9 = 0.
Упростим:
5(x – 3)^2 + 9(y + 1)^2 – 9 = 0.
Далее, выполняем параллельный перенос осей координат, заменяя переменные:
X = x – 3,
Y = y + 1.
Подставляем полученные значения:
5(X^2) + 9(Y^2) – 9 = 0.
Данное уравнение в простейшем виде представляет собой уравнение эллипса:
(X^2)/(9/5) + (Y^2)/1 = 1.
Получаем, что уравнение определяет эллипс с центром в точке (3, -1) и полуосями a = sqrt(9/5) и b = 1.
Теперь необходимо изобразить на чертеже образ относительно старых и новых осей координат. Для этого можно нарисовать две прямоугольные системы координат, в одной из которых изображена эллиптическая кривая, а в другой – стандартная окружность. Затем необходимо выполнить параллельный перенос осей координат в первую систему и нарисовать эллиптическую кривую относительно новых осей координат. Это позволит наглядно увидеть применение параллельного переноса для получения простейшего вида уравнения и его геометрического образа.
