Производная 1/27*((sin(27*x)^(2))/cos(54*x))

$$frac{1}{27} sin^{2}{left (27 x right )} frac{1}{cos{left (54 x right )}}$$

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применим правило производной частного:

      frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

      f{left (x right )} = sin^{2}{left (27 x right )}
      и
      g{left (x right )} = cos{left (54 x right )}
      $$ .

      Чтобы найти $$
      frac{d}{d x} f{left (x right )}
      :

      1. Заменим
         u = sin{left (27 x right )}
         .

      2. В силу правила, применим:
         u^{2}
         получим
         2 u

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x} sin{left (27 x right )}
         :

         1. Заменим
            u = 27 x
            .

         2. Производная синуса есть косинус:

            frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x}left(27 xright)
            :

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим:
                  x
                  получим
                  1

               Таким образом, в результате:
               27

            В результате последовательности правил:

            27 cos{left (27 x right )}

         В результате последовательности правил:

         54 sin{left (27 x right )} cos{left (27 x right )}

      Чтобы найти
      frac{d}{d x} g{left (x right )}
      :

      1. Заменим
         u = 54 x
         .

      2. Производная косинус есть минус синус:

         frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(54 xright)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            Таким образом, в результате:
            54

         В результате последовательности правил:

         – 54 sin{left (54 x right )}

      Теперь применим правило производной деления:

      frac{1}{cos^{2}{left (54 x right )}} left(54 sin^{2}{left (27 x right )} sin{left (54 x right )} + 54 sin{left (27 x right )} cos{left (27 x right )} cos{left (54 x right )}right)

   Таким образом, в результате:
   frac{1}{27 cos^{2}{left (54 x right )}} left(54 sin^{2}{left (27 x right )} sin{left (54 x right )} + 54 sin{left (27 x right )} cos{left (27 x right )} cos{left (54 x right )}right)

2. Теперь упростим:

   frac{2 sin{left (54 x right )}}{cos{left (108 x right )} + 1}

---

Ответ:

frac{2 sin{left (54 x right )}}{cos{left (108 x right )} + 1}

2
2*cos(27*x)*sin(27*x) 2*sin (27*x)*sin(54*x)
——————— + ———————-
cos(54*x) 2
cos (54*x)

$$frac{2 sin^{2}{left (27 x right )}}{cos^{2}{left (54 x right )}} sin{left (54 x right )} + frac{2 cos{left (27 x right )}}{cos{left (54 x right )}} sin{left (27 x right )}$$

Вторая производная

/ 2 2
| 2 2 4*sin (27*x)*sin (54*x) 4*cos(27*x)*sin(27*x)*sin(54*x)|
54*|cos (27*x) + sin (27*x) + ———————– + ——————————-|
| 2 cos(54*x) |
cos (54*x) /
—————————————————————————————-
cos(54*x)

$$frac{1}{cos{left (54 x right )}} left(frac{216 sin^{2}{left (27 x right )}}{cos^{2}{left (54 x right )}} sin^{2}{left (54 x right )} + 54 sin^{2}{left (27 x right )} + frac{216 cos{left (27 x right )}}{cos{left (54 x right )}} sin{left (27 x right )} sin{left (54 x right )} + 54 cos^{2}{left (27 x right )}right)$$

Третья производная

/ 2 2 2 3 2
| 3*cos (27*x)*sin(54*x) 7*sin (27*x)*sin(54*x) 12*sin (27*x)*sin (54*x) 12*sin (54*x)*cos(27*x)*sin(27*x)|
2916*|4*cos(27*x)*sin(27*x) + ———————- + ———————- + ———————— + ———————————|
| cos(54*x) cos(54*x) 3 2 |
cos (54*x) cos (54*x) /
———————————————————————————————————————————————
cos(54*x)

$$frac{1}{cos{left (54 x right )}} left(frac{34992 sin^{2}{left (27 x right )}}{cos^{3}{left (54 x right )}} sin^{3}{left (54 x right )} + frac{20412 sin^{2}{left (27 x right )}}{cos{left (54 x right )}} sin{left (54 x right )} + frac{34992 sin^{2}{left (54 x right )}}{cos^{2}{left (54 x right )}} sin{left (27 x right )} cos{left (27 x right )} + 11664 sin{left (27 x right )} cos{left (27 x right )} + frac{8748 cos^{2}{left (27 x right )}}{cos{left (54 x right )}} sin{left (54 x right )}right)$$