Производная (2-sqrt(x))/(sqrt(x)+1)

$$frac{- sqrt{x} + 2}{sqrt{x} + 1}$$

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = – sqrt{x} + 2
   и
   g{left (x right )} = sqrt{x} + 1
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. дифференцируем
      – sqrt{x} + 2
      почленно:

      1. Производная постоянной
         2
         равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            sqrt{x}
            получим
            frac{1}{2 sqrt{x}}

         Таким образом, в результате:
         – frac{1}{2 sqrt{x}}

      В результате:
      – frac{1}{2 sqrt{x}}

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. дифференцируем
      sqrt{x} + 1
      почленно:

      1. Производная постоянной
         1
         равна нулю.

      2. В силу правила, применим:
         sqrt{x}
         получим
         frac{1}{2 sqrt{x}}

      В результате:
      frac{1}{2 sqrt{x}}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{left(sqrt{x} + 1right)^{2}} left(- frac{- sqrt{x} + 2}{2 sqrt{x}} – frac{sqrt{x} + 1}{2 sqrt{x}}right)

2. Теперь упростим:

   – frac{3}{2 sqrt{x} left(sqrt{x} + 1right)^{2}}

---

Ответ:

– frac{3}{2 sqrt{x} left(sqrt{x} + 1right)^{2}}

___
1 2 – / x
– ——————- – ——————–
___ / ___ 2
2*/ x */ x + 1/ ___ / ___
2*/ x */ x + 1/

$$- frac{- sqrt{x} + 2}{2 sqrt{x} left(sqrt{x} + 1right)^{2}} – frac{1}{2 sqrt{x} left(sqrt{x} + 1right)}$$

Вторая производная

___ / ___
1 2 -2 + / x 2* -2 + / x /
—- + ————- – —————- – ————–
3/2 / ___ 3/2 / ___ 2
x x*1 + / x / x *1 + / x / / ___
x*1 + / x /
——————————————————–
/ ___
4*1 + / x /

$$frac{1}{4 sqrt{x} + 4} left(- frac{2 sqrt{x} – 4}{x left(sqrt{x} + 1right)^{2}} + frac{2}{x left(sqrt{x} + 1right)} – frac{sqrt{x} – 2}{x^{frac{3}{2}} left(sqrt{x} + 1right)} + frac{1}{x^{frac{3}{2}}}right)$$

Третья производная

/ ___ / ___ / ___
| 1 2 2 -2 + / x 2* -2 + / x / 2* -2 + / x / |
3*|- —- – ————– – —————– + —————- + ————— + —————–|
| 5/2 2 / ___ 2 5/2 / ___ 2 3|
| x x *1 + / x / 3/2 / ___ x *1 + / x / 2 / ___ 3/2 / ___ |
x *1 + / x / x *1 + / x / x *1 + / x / /
——————————————————————————————————–
/ ___
8*1 + / x /

$$frac{1}{8 sqrt{x} + 8} left(frac{6 sqrt{x} – 12}{x^{2} left(sqrt{x} + 1right)^{2}} – frac{6}{x^{2} left(sqrt{x} + 1right)} + frac{6 sqrt{x} – 12}{x^{frac{3}{2}} left(sqrt{x} + 1right)^{3}} – frac{6}{x^{frac{3}{2}} left(sqrt{x} + 1right)^{2}} + frac{3 sqrt{x} – 6}{x^{frac{5}{2}} left(sqrt{x} + 1right)} – frac{3}{x^{frac{5}{2}}}right)$$