Категории задач
Uchimatchast
About this Course HTML and CSS Are the Tools You Need to Build a Website Coding for beginners might seem hard. However, starting with the basics is a great way.
  • turitor@admin.com
  • +01145928421
Производная функции, Производная функции от одной переменной Работа проверена: Miha Время решения: 3 мин Сложность: 3.7

На странице представлен фрагмент

Попробовать AI 🤖

Реши любую задачу с помощью нейросети.

Дано

$$3^{frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}} + frac{1}{3} sin^{3}{left (2 x right )} frac{1}{3 cos^{3}{left (3 x right )}}$$
Подробное решение

  1. дифференцируем
    3^{frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}} + frac{1}{3} sin^{3}{left (2 x right )} frac{1}{3 cos^{3}{left (3 x right )}}
    почленно:

    1. Заменим
      u = frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}
      .

    2. frac{d}{d u} 3^{u} = 3^{u} log{left (3 right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}right)
      :

      1. Применим правило производной частного:

        frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

        f{left (x right )} = sin{left (2 x right )}
        и
        g{left (x right )} = cos{left (x right )}
        $$ .

        Чтобы найти $$
        frac{d}{d x} f{left (x right )}
        :

        1. Заменим
          u = 2 x
          .

        2. Производная синуса есть косинус:

          frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
          frac{d}{d x}left(2 xright)
          :

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
              x
              получим
              1

            Таким образом, в результате:
            2

          В результате последовательности правил:

          2 cos{left (2 x right )}

        Чтобы найти
        frac{d}{d x} g{left (x right )}
        :

        1. Производная косинус есть минус синус:

          frac{d}{d x} cos{left (x right )} = – sin{left (x right )}

        Теперь применим правило производной деления:

        frac{1}{cos^{2}{left (x right )}} left(sin{left (x right )} sin{left (2 x right )} + 2 cos{left (x right )} cos{left (2 x right )}right)

      В результате последовательности правил:

      frac{3^{frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}}}{cos^{2}{left (x right )}} left(sin{left (x right )} sin{left (2 x right )} + 2 cos{left (x right )} cos{left (2 x right )}right) log{left (3 right )}

    4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

        frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

        f{left (x right )} = sin^{3}{left (2 x right )}
        и
        g{left (x right )} = 3 cos^{3}{left (3 x right )}
        $$ .

        Чтобы найти $$
        frac{d}{d x} f{left (x right )}
        :

        1. Заменим
          u = sin{left (2 x right )}
          .

        2. В силу правила, применим:
          u^{3}
          получим
          3 u^{2}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
          frac{d}{d x} sin{left (2 x right )}
          :

          1. Заменим
            u = 2 x
            .

          2. Производная синуса есть косинус:

            frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

          3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x}left(2 xright)
            :

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

              1. В силу правила, применим:
                x
                получим
                1

              Таким образом, в результате:
              2

            В результате последовательности правил:

            2 cos{left (2 x right )}

          В результате последовательности правил:

          6 sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}

        Чтобы найти
        frac{d}{d x} g{left (x right )}
        :

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. Заменим
            u = cos{left (3 x right )}
            .

          2. В силу правила, применим:
            u^{3}
            получим
            3 u^{2}

          3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x} cos{left (3 x right )}
            :

            1. Заменим
              u = 3 x
              .

            2. Производная косинус есть минус синус:

              frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
              frac{d}{d x}left(3 xright)
              :

              1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                1. В силу правила, применим:
                  x
                  получим
                  1

                Таким образом, в результате:
                3

              В результате последовательности правил:

              – 3 sin{left (3 x right )}

            В результате последовательности правил:

            – 9 sin{left (3 x right )} cos^{2}{left (3 x right )}

          Таким образом, в результате:
          – 27 sin{left (3 x right )} cos^{2}{left (3 x right )}

        Теперь применим правило производной деления:

        frac{1}{9 cos^{6}{left (3 x right )}} left(27 sin^{3}{left (2 x right )} sin{left (3 x right )} cos^{2}{left (3 x right )} + 18 sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} cos^{3}{left (3 x right )}right)

      Таким образом, в результате:
      frac{1}{27 cos^{6}{left (3 x right )}} left(27 sin^{3}{left (2 x right )} sin{left (3 x right )} cos^{2}{left (3 x right )} + 18 sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} cos^{3}{left (3 x right )}right)

    В результате:
    frac{3^{frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}}}{cos^{2}{left (x right )}} left(sin{left (x right )} sin{left (2 x right )} + 2 cos{left (x right )} cos{left (2 x right )}right) log{left (3 right )} + frac{1}{27 cos^{6}{left (3 x right )}} left(27 sin^{3}{left (2 x right )} sin{left (3 x right )} cos^{2}{left (3 x right )} + 18 sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} cos^{3}{left (3 x right )}right)

  2. Теперь упростим:

    frac{cos{left (x right )}}{3 cos^{4}{left (3 x right )}} left(3^{2 sin{left (x right )}} log{left (729 right )} cos^{4}{left (3 x right )} + 2 left(5 cos{left (x right )} – cos{left (5 x right )}right) sin^{2}{left (x right )} cos{left (x right )}right)

Ответ:

frac{cos{left (x right )}}{3 cos^{4}{left (3 x right )}} left(3^{2 sin{left (x right )}} log{left (729 right )} cos^{4}{left (3 x right )} + 2 left(5 cos{left (x right )} – cos{left (5 x right )}right) sin^{2}{left (x right )} cos{left (x right )}right)

Первая производная

sin(2*x)
——– 3
cos(x) /2*cos(2*x) sin(x)*sin(2*x) sin (2*x)*sin(3*x) 2 1
3 *|———- + —————|*log(3) + —————— + 2*sin (2*x)*———–*cos(2*x)
| cos(x) 2 | 4 3
cos (x) / cos (3*x) 3*cos (3*x)

$$3^{frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}} left(frac{sin{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} sin{left (2 x right )} + frac{2 cos{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}right) log{left (3 right )} + frac{sin^{3}{left (2 x right )} sin{left (3 x right )}}{cos^{4}{left (3 x right )}} + 2 sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} frac{1}{3 cos^{3}{left (3 x right )}}$$
Вторая производная

sin(2*x)
sin(2*x) ——– / 2
——– 2 cos(x) | 2*sin (x)*sin(2*x) 4*cos(2*x)*sin(x)|
cos(x) / sin(x)*sin(2*x) 2 3 *|-3*sin(2*x) + —————— + —————–|*log(3)
3 3 2 2 3 *|2*cos(2*x) + —————| *log (3) | 2 cos(x) | 2
5*sin (2*x) 12*sin (2*x)*sin (3*x) 8*cos (2*x)*sin(2*x) cos(x) / cos (x) / 12*sin (2*x)*cos(2*x)*sin(3*x)
———– + ———————- + ——————– + ————————————————- + ———————————————————————– + ——————————
3 5 3 2 cos(x) 4
3*cos (3*x) cos (3*x) 3*cos (3*x) cos (x) cos (3*x)

$$frac{3^{frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}}}{cos^{2}{left (x right )}} left(frac{sin{left (x right )}}{cos{left (x right )}} sin{left (2 x right )} + 2 cos{left (2 x right )}right)^{2} log^{2}{left (3 right )} + frac{3^{frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}}}{cos{left (x right )}} left(frac{2 sin^{2}{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} sin{left (2 x right )} + frac{4 cos{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}} sin{left (x right )} – 3 sin{left (2 x right )}right) log{left (3 right )} + frac{12 sin^{3}{left (2 x right )}}{cos^{5}{left (3 x right )}} sin^{2}{left (3 x right )} + frac{5 sin^{3}{left (2 x right )}}{3 cos^{3}{left (3 x right )}} + frac{12 sin^{2}{left (2 x right )}}{cos^{4}{left (3 x right )}} sin{left (3 x right )} cos{left (2 x right )} + frac{8 sin{left (2 x right )} cos^{2}{left (2 x right )}}{3 cos^{3}{left (3 x right )}}$$
Третья производная

sin(2*x) sin(2*x)
sin(2*x) ——– / 3 2 ——– / 2
——– 3 cos(x) | 7*sin(x)*sin(2*x) 6*sin (x)*sin(2*x) 12*sin (x)*cos(2*x)| cos(x) 2 / sin(x)*sin(2*x) | 2*sin (x)*sin(2*x) 4*cos(2*x)*sin(x)|
cos(x) / sin(x)*sin(2*x) 3 3 *|-2*cos(2*x) – —————– + —————— + ——————-|*log(3) 3*3 *log (3)*|2*cos(2*x) + —————|*|-3*sin(2*x) + —————— + —————–|
3 3 3 3 2 3 *|2*cos(2*x) + —————| *log (3) | cos(x) 3 2 | 2 2 2 cos(x) / | 2 cos(x) |
16*cos (2*x) 63*sin (2*x)*sin(3*x) 180*sin (2*x)*sin (3*x) 106*sin (2*x)*cos(2*x) cos(x) / cos (x) cos (x) / 72*cos (2*x)*sin(2*x)*sin(3*x) 216*sin (2*x)*sin (3*x)*cos(2*x) cos (x) /
———— + ——————— + ———————– + ———————- + ————————————————- + ——————————————————————————————— + —————————— + ——————————– + ———————————————————————————————————
3 4 6 3 3 cos(x) 4 5 2
3*cos (3*x) cos (3*x) cos (3*x) 3*cos (3*x) cos (x) cos (3*x) cos (3*x) cos (x)

$$frac{3^{frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}}}{cos^{3}{left (x right )}} left(frac{sin{left (x right )}}{cos{left (x right )}} sin{left (2 x right )} + 2 cos{left (2 x right )}right)^{3} log^{3}{left (3 right )} + frac{3 log^{2}{left (3 right )}}{cos^{2}{left (x right )}} 3^{frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}} left(frac{sin{left (x right )}}{cos{left (x right )}} sin{left (2 x right )} + 2 cos{left (2 x right )}right) left(frac{2 sin^{2}{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} sin{left (2 x right )} + frac{4 cos{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}} sin{left (x right )} – 3 sin{left (2 x right )}right) + frac{3^{frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (x right )}}}}{cos{left (x right )}} left(frac{6 sin^{3}{left (x right )}}{cos^{3}{left (x right )}} sin{left (2 x right )} + frac{12 sin^{2}{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} cos{left (2 x right )} – frac{7 sin{left (x right )}}{cos{left (x right )}} sin{left (2 x right )} – 2 cos{left (2 x right )}right) log{left (3 right )} + frac{180 sin^{3}{left (2 x right )}}{cos^{6}{left (3 x right )}} sin^{3}{left (3 x right )} + frac{63 sin^{3}{left (2 x right )}}{cos^{4}{left (3 x right )}} sin{left (3 x right )} + frac{216 sin^{2}{left (2 x right )}}{cos^{5}{left (3 x right )}} sin^{2}{left (3 x right )} cos{left (2 x right )} + frac{106 sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}}{3 cos^{3}{left (3 x right )}} + frac{72 cos^{2}{left (2 x right )}}{cos^{4}{left (3 x right )}} sin{left (2 x right )} sin{left (3 x right )} + frac{16 cos^{3}{left (2 x right )}}{3 cos^{3}{left (3 x right )}}$$
   
4.58
Miha
Эссе, доклады, рефераты, контрольные, курсовые, семестровые работы; магистерские диссертации и дипломы. Презентации, работы в Фотошоп.
Нанять автора

Рейтинг сайтов по написанию работ