Производная arctg3*(log(sqrt(x))/(x+2))

$$frac{log{left (sqrt{x} right )}}{x + 2} {atan}{left (3 right )}$$

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применим правило производной частного:

      frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

      f{left (x right )} = log{left (sqrt{x} right )}
      и
      g{left (x right )} = x + 2
      $$ .

      Чтобы найти $$
      frac{d}{d x} f{left (x right )}
      :

      1. Заменим
         u = sqrt{x}
         .

      2. Производная
         log{left (u right )}
         является
         frac{1}{u}
         .

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x} sqrt{x}
         :

         1. В силу правила, применим:
            sqrt{x}
            получим
            frac{1}{2 sqrt{x}}

         В результате последовательности правил:

         frac{1}{2 x}

      Чтобы найти
      frac{d}{d x} g{left (x right )}
      :

      1. дифференцируем
         x + 2
         почленно:

         1. Производная постоянной
            2
            равна нулю.

         2. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         В результате:
         1

      Теперь применим правило производной деления:

      frac{1}{left(x + 2right)^{2}} left(- log{left (sqrt{x} right )} + frac{x + 2}{2 x}right)

   Таким образом, в результате:
   frac{{atan}{left (3 right )}}{left(x + 2right)^{2}} left(- log{left (sqrt{x} right )} + frac{x + 2}{2 x}right)

2. Теперь упростим:

   frac{{atan}{left (3 right )}}{2 x left(x + 2right)^{2}} left(- 2 x log{left (sqrt{x} right )} + x + 2right)

---

Ответ:

frac{{atan}{left (3 right )}}{2 x left(x + 2right)^{2}} left(- 2 x log{left (sqrt{x} right )} + x + 2right)

/ / ___
| 1 log/ x /|
|———– – ———-|*atan(3)
|2*x*(x + 2) 2 |
(x + 2) /

$$left(- frac{log{left (sqrt{x} right )}}{left(x + 2right)^{2}} + frac{1}{2 x left(x + 2right)}right) {atan}{left (3 right )}$$

Вторая производная

/ / ___
| 1 1 2*log/ x /|
-|—- + ——— – ————|*atan(3)
| 2 x*(2 + x) 2 |
2*x (2 + x) /
——————————————-
2 + x

$$- frac{{atan}{left (3 right )}}{x + 2} left(- frac{2 log{left (sqrt{x} right )}}{left(x + 2right)^{2}} + frac{1}{x left(x + 2right)} + frac{1}{2 x^{2}}right)$$

Третья производная

/ / ___
|1 6*log/ x / 3 3 |
|– – ———— + ———- + ————|*atan(3)
| 3 3 2 2 |
x (2 + x) x*(2 + x) 2*x *(2 + x)/
——————————————————-
2 + x

$$frac{{atan}{left (3 right )}}{x + 2} left(- frac{6 log{left (sqrt{x} right )}}{left(x + 2right)^{3}} + frac{3}{x left(x + 2right)^{2}} + frac{3}{2 x^{2} left(x + 2right)} + frac{1}{x^{3}}right)$$