Производная ctg^4*(log(2+5*x)/log(3))

$$cot^{4}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}$$

1. Заменим
   u = cot{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}
   .

2. В силу правила, применим:
   u^{4}
   получим
   4 u^{3}

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
   frac{d}{d x} cot{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}
   :

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим
         u = frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}}
         .

      2. frac{d}{d u} cot{left (u right )} = – frac{1}{sin^{2}{left (u right )}}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}}right)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим
               u = 5 x + 2
               .

            2. Производная
               log{left (u right )}
               является
               frac{1}{u}
               .

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
               frac{d}{d x}left(5 x + 2right)
               :

               1. дифференцируем
                  5 x + 2
                  почленно:

                  1. Производная постоянной
                     2
                     равна нулю.

                  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим:
                        x
                        получим
                        1

                     Таким образом, в результате:
                     5

                  В результате:
                  5

               В результате последовательности правил:

               frac{5}{5 x + 2}

            Таким образом, в результате:
            frac{5}{left(5 x + 2right) log{left (3 right )}}

         В результате последовательности правил:

         – frac{5}{left(5 x + 2right) log{left (3 right )} sin^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}

   В результате последовательности правил:

   – frac{4 cot^{3}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}{cos^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} tan^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}} left(frac{5 sin^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}{left(5 x + 2right) log{left (3 right )}} + frac{5 cos^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}{left(5 x + 2right) log{left (3 right )}}right)

4. Теперь упростим:

   – frac{20 cos^{3}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}{left(5 x + 2right) log{left (3 right )} sin^{5}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}

---

Ответ:

– frac{20 cos^{3}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}{left(5 x + 2right) log{left (3 right )} sin^{5}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}

3/log(2 + 5*x) / 2/log(2 + 5*x)
20*cot |————|*|-1 – cot |————||
log(3) / log(3) //
———————————————–
(2 + 5*x)*log(3)

$$frac{20 cot^{3}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}{left(5 x + 2right) log{left (3 right )}} left(- cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} – 1right)$$

Вторая производная

/ 2/log(2 + 5*x) / 2/log(2 + 5*x)
|2*cot |————| 3*|1 + cot |————|| |
2/log(2 + 5*x) / 2/log(2 + 5*x) | log(3) / log(3) // /log(2 + 5*x)|
100*cot |————|*|1 + cot |————||*|——————– + ————————– + cot|————||
log(3) / log(3) // log(3) log(3) log(3) //
———————————————————————————————————————–
2
(2 + 5*x) *log(3)

$$frac{100 cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}{left(5 x + 2right)^{2} log{left (3 right )}} left(cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + 1right) left(frac{1}{log{left (3 right )}} left(3 cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + 3right) + frac{2}{log{left (3 right )}} cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + cot{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}right)$$

Третья производная

/ 2
| 4/log(2 + 5*x) / 2/log(2 + 5*x) 3/log(2 + 5*x) / 2/log(2 + 5*x) /log(2 + 5*x) 2/log(2 + 5*x) / 2/log(2 + 5*x)|
| 4*cot |————| 6*|1 + cot |————|| 6*cot |————| 9*|1 + cot |————||*cot|————| 20*cot |————|*|1 + cot |————|||
/ 2/log(2 + 5*x) | 2/log(2 + 5*x) log(3) / log(3) // log(3) / log(3) // log(3) / log(3) / log(3) //| /log(2 + 5*x)
-500*|1 + cot |————||*|2*cot |————| + ——————– + ————————— + ——————– + ——————————————– + ———————————————-|*cot|————|
log(3) // | log(3) / 2 2 log(3) log(3) 2 | log(3) /
log (3) log (3) log (3) /
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————–
3
(2 + 5*x) *log(3)

$$- frac{500 cot{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}}{left(5 x + 2right)^{3} log{left (3 right )}} left(cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + 1right) left(frac{6}{log^{2}{left (3 right )}} left(cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + 1right)^{2} + frac{20}{log^{2}{left (3 right )}} left(cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + 1right) cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + frac{9}{log{left (3 right )}} left(cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + 1right) cot{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + frac{4}{log^{2}{left (3 right )}} cot^{4}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + frac{6}{log{left (3 right )}} cot^{3}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )} + 2 cot^{2}{left (frac{log{left (5 x + 2 right )}}{log{left (3 right )}} right )}right)$$