Производная sec(x)^2-tan(x)^2

$$- tan^{2}{left (x right )} + sec^{2}{left (x right )}$$

1. дифференцируем
   – tan^{2}{left (x right )} + sec^{2}{left (x right )}
   почленно:

   1. Заменим
      u = sec{left (x right )}
      .

   2. В силу правила, применим:
      u^{2}
      получим
      2 u

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x} sec{left (x right )}
      :

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

            frac{d}{d x} sec{left (x right )} = tan{left (x right )} sec{left (x right )}

      В результате последовательности правил:

      frac{2 sec{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} sin{left (x right )}

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим
         u = tan{left (x right )}
         .

      2. В силу правила, применим:
         u^{2}
         получим
         2 u

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x} tan{left (x right )}
         :

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. frac{d}{d x} tan{left (x right )} = frac{1}{cos^{2}{left (x right )}}

         В результате последовательности правил:

         frac{2 tan{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} left(sin^{2}{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}right)

      Таким образом, в результате:
      – frac{2 tan{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} left(sin^{2}{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}right)

   В результате:
   – frac{2 tan{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} left(sin^{2}{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}right) + frac{2 sec{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} sin{left (x right )}

2. Теперь упростим:

---

Ответ:

/ 2 2
– 2 + 2*tan (x)/*tan(x) + 2*sec (x)*tan(x)

$$- left(2 tan^{2}{left (x right )} + 2right) tan{left (x right )} + 2 tan{left (x right )} sec^{2}{left (x right )}$$

Вторая производная

/ 2
| / 2 2 / 2 2 / 2 2 2 |
2* – 1 + tan (x)/ + sec (x)*1 + tan (x)/ – 2*tan (x)*1 + tan (x)/ + 2*sec (x)*tan (x)/

$$2 left(- left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)^{2} – 2 left(tan^{2}{left (x right )} + 1right) tan^{2}{left (x right )} + left(tan^{2}{left (x right )} + 1right) sec^{2}{left (x right )} + 2 tan^{2}{left (x right )} sec^{2}{left (x right )}right)$$

Третья производная

/ 2
| / 2 2 2 2 / 2 2 / 2 |
8* – 2*1 + tan (x)/ + sec (x)*tan (x) – tan (x)*1 + tan (x)/ + 2*sec (x)*1 + tan (x)//*tan(x)

$$8 left(- 2 left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)^{2} – left(tan^{2}{left (x right )} + 1right) tan^{2}{left (x right )} + 2 left(tan^{2}{left (x right )} + 1right) sec^{2}{left (x right )} + tan^{2}{left (x right )} sec^{2}{left (x right )}right) tan{left (x right )}$$