Производная sin(2*x)/cos(2*x)

$$frac{sin{left (2 x right )}}{cos{left (2 x right )}}$$

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = sin{left (2 x right )}
   и
   g{left (x right )} = cos{left (2 x right )}
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = 2 x
      .

   2. Производная синуса есть косинус:

      frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(2 xright)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         Таким образом, в результате:
         2

      В результате последовательности правил:

      2 cos{left (2 x right )}

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = 2 x
      .

   2. Производная косинус есть минус синус:

      frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(2 xright)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         Таким образом, в результате:
         2

      В результате последовательности правил:

      – 2 sin{left (2 x right )}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{cos^{2}{left (2 x right )}} left(2 sin^{2}{left (2 x right )} + 2 cos^{2}{left (2 x right )}right)

2. Теперь упростим:

   frac{2}{cos^{2}{left (2 x right )}}

---

Ответ:

frac{2}{cos^{2}{left (2 x right )}}

2
2*sin (2*x)
2 + ———–
2
cos (2*x)

$$frac{2 sin^{2}{left (2 x right )}}{cos^{2}{left (2 x right )}} + 2$$

Вторая производная

/ 2
| sin (2*x)|
8*|1 + ———|*sin(2*x)
| 2 |
cos (2*x)/
————————–
cos(2*x)

$$frac{8 sin{left (2 x right )}}{cos{left (2 x right )}} left(frac{sin^{2}{left (2 x right )}}{cos^{2}{left (2 x right )}} + 1right)$$

Третья производная

/ 4 2
| 3*sin (2*x) 4*sin (2*x)|
16*|1 + ———– + ———–|
| 4 2 |
cos (2*x) cos (2*x) /

$$16 left(frac{3 sin^{4}{left (2 x right )}}{cos^{4}{left (2 x right )}} + frac{4 sin^{2}{left (2 x right )}}{cos^{2}{left (2 x right )}} + 1right)$$