Производная sin(3*x)*cos(3*x)

1. Применяем правило производной умножения:

   frac{d}{d x}left(f{left (x right )} g{left (x right )}right) = f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}

   f{left (x right )} = sin{left (3 x right )}
   ; найдём
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = 3 x
      .

   2. Производная синуса есть косинус:

      frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(3 xright)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         Таким образом, в результате:
         3

      В результате последовательности правил:

      3 cos{left (3 x right )}

   g{left (x right )} = cos{left (3 x right )}
   ; найдём
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = 3 x
      .

   2. Производная косинус есть минус синус:

      frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(3 xright)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         Таким образом, в результате:
         3

      В результате последовательности правил:

      – 3 sin{left (3 x right )}

   В результате:
   – 3 sin^{2}{left (3 x right )} + 3 cos^{2}{left (3 x right )}

2. Теперь упростим:

   3 cos{left (6 x right )}

Ответ:

3 cos{left (6 x right )}

2 2
– 3*sin (3*x) + 3*cos (3*x)

-36*cos(3*x)*sin(3*x)

/ 2 2
108*sin (3*x) – cos (3*x)/