Производная sin(pi/2^(x+1))

$$sin{left (frac{pi}{2^{x + 1}} right )}$$

1. Заменим
   u = frac{pi}{2^{x + 1}}
   .

2. Производная синуса есть косинус:

   frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
   frac{d}{d x}left(frac{pi}{2^{x + 1}}right)
   :

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим
         u = 2^{x + 1}
         .

      2. В силу правила, применим:
         frac{1}{u}
         получим
         – frac{1}{u^{2}}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x} 2^{x + 1}
         :

         1. Заменим
            u = x + 1
            .

         2. frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} log{left (2 right )}

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x}left(x + 1right)
            :

            1. дифференцируем
               x + 1
               почленно:

               1. В силу правила, применим:
                  x
                  получим
                  1

               2. Производная постоянной
                  1
                  равна нулю.

               В результате:
               1

            В результате последовательности правил:

            2^{x + 1} log{left (2 right )}

         В результате последовательности правил:

         – 2^{- 2 x – 2} cdot 2^{x + 1} log{left (2 right )}

      Таким образом, в результате:
      – 2^{- 2 x – 2} cdot 2^{x + 1} pi log{left (2 right )}

   В результате последовательности правил:

   – 2^{- 2 x – 2} cdot 2^{x + 1} pi log{left (2 right )} cos{left (2^{- x – 1} pi right )}

4. Теперь упростим:

   – frac{pi}{2} 2^{- x} log{left (2 right )} cos{left (frac{pi}{2} 2^{- x} right )}

---

Ответ:

– frac{pi}{2} 2^{- x} log{left (2 right )} cos{left (frac{pi}{2} 2^{- x} right )}

-2 – 2*x x + 1 / -1 – x
-pi*2 *2 *cospi*2 /*log(2)

$$- 2^{- 2 x – 2} cdot 2^{x + 1} pi log{left (2 right )} cos{left (2^{- x – 1} pi right )}$$

Вторая производная

/ / -x / -x
-x 2 | |pi*2 | -x |pi*2 ||
pi*2 *log (2)*|2*cos|——| – pi*2 *sin|——||
2 / 2 //
—————————————————
4

$$frac{pi}{4} 2^{- x} left(2 cos{left (frac{pi}{2} 2^{- x} right )} – 2^{- x} pi sin{left (frac{pi}{2} 2^{- x} right )}right) log^{2}{left (2 right )}$$

Третья производная

/ / -x / -x / -x
3 | -x |pi*2 | -2*x |pi*2 | x -2*x 2 |pi*2 ||
pi*log (2)*|- 4*2 *cos|——| + 6*pi*2 *sin|——| + 2 *4 *pi *cos|——||
2 / 2 / 2 //
————————————————————————————
8

$$frac{pi}{8} left(2^{x} 4^{- 2 x} pi^{2} cos{left (frac{pi}{2} 2^{- x} right )} – 4 cdot 2^{- x} cos{left (frac{pi}{2} 2^{- x} right )} + 6 cdot 2^{- 2 x} pi sin{left (frac{pi}{2} 2^{- x} right )}right) log^{3}{left (2 right )}$$