Производная sqrt(x)/(1+sqrt(x))

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = sqrt{x}
   и
   g{left (x right )} = sqrt{x} + 1
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. В силу правила, применим:
      sqrt{x}
      получим
      frac{1}{2 sqrt{x}}

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. дифференцируем
      sqrt{x} + 1
      почленно:

      1. Производная постоянной
         1
         равна нулю.

      2. В силу правила, применим:
         sqrt{x}
         получим
         frac{1}{2 sqrt{x}}

      В результате:
      frac{1}{2 sqrt{x}}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{left(sqrt{x} + 1right)^{2}} left(- frac{1}{2} + frac{sqrt{x} + 1}{2 sqrt{x}}right)

2. Теперь упростим:

   frac{1}{2 sqrt{x} left(sqrt{x} + 1right)^{2}}

Ответ:

frac{1}{2 sqrt{x} left(sqrt{x} + 1right)^{2}}

1 1
– ————– + ——————-
2 ___ / ___
/ ___ 2*/ x *1 + / x /
2*1 + / x /

1 1 2
– —- – ————- + ——————
3/2 / ___ 2
x x*1 + / x / ___ / ___
/ x *1 + / x /
——————————————-
/ ___
4*1 + / x /

/ 1 1 2
3*|—- + ————– – ————–|
| 5/2 2 / ___ 3|
|x x *1 + / x / / ___ |
x*1 + / x / /
——————————————
/ ___
8*1 + / x /