Интеграл (4*x+3)^10 (dx)

Метод #2

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   left(4 x + 3right)^{10} = 1048576 x^{10} + 7864320 x^{9} + 26542080 x^{8} + 53084160 x^{7} + 69672960 x^{6} + 62705664 x^{5} + 39191040 x^{4} + 16796160 x^{3} + 4723920 x^{2} + 787320 x + 59049

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int 1048576 x^{10}, dx = 1048576 int x^{10}, dx

      1. Интеграл
         x^{n}
         есть
         frac{x^{n + 1}}{n + 1}
         :

         int x^{10}, dx = frac{x^{11}}{11}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{1048576 x^{11}}{11}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int 7864320 x^{9}, dx = 7864320 int x^{9}, dx

      1. Интеграл
         x^{n}
         есть
         frac{x^{n + 1}}{n + 1}
         :

         int x^{9}, dx = frac{x^{10}}{10}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      786432 x^{10}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int 26542080 x^{8}, dx = 26542080 int x^{8}, dx

      1. Интеграл
         x^{n}
         есть
         frac{x^{n + 1}}{n + 1}
         :

         int x^{8}, dx = frac{x^{9}}{9}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      2949120 x^{9}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int 53084160 x^{7}, dx = 53084160 int x^{7}, dx

      1. Интеграл
         x^{n}
         есть
         frac{x^{n + 1}}{n + 1}
         :

         int x^{7}, dx = frac{x^{8}}{8}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      6635520 x^{8}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int 69672960 x^{6}, dx = 69672960 int x^{6}, dx

      1. Интеграл
         x^{n}
         есть
         frac{x^{n + 1}}{n + 1}
         :

         int x^{6}, dx = frac{x^{7}}{7}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      9953280 x^{7}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int 62705664 x^{5}, dx = 62705664 int x^{5}, dx

      1. Интеграл
         x^{n}
         есть
         frac{x^{n + 1}}{n + 1}
         :

         int x^{5}, dx = frac{x^{6}}{6}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      10450944 x^{6}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int 39191040 x^{4}, dx = 39191040 int x^{4}, dx

      1. Интеграл
         x^{n}
         есть
         frac{x^{n + 1}}{n + 1}
         :

         int x^{4}, dx = frac{x^{5}}{5}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      7838208 x^{5}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int 16796160 x^{3}, dx = 16796160 int x^{3}, dx

      1. Интеграл
         x^{n}
         есть
         frac{x^{n + 1}}{n + 1}
         :

         int x^{3}, dx = frac{x^{4}}{4}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      4199040 x^{4}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int 4723920 x^{2}, dx = 4723920 int x^{2}, dx

      1. Интеграл
         x^{n}
         есть
         frac{x^{n + 1}}{n + 1}
         :

         int x^{2}, dx = frac{x^{3}}{3}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      1574640 x^{3}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int 787320 x, dx = 787320 int x, dx

      1. Интеграл
         x^{n}
         есть
         frac{x^{n + 1}}{n + 1}
         :

         int x, dx = frac{x^{2}}{2}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      393660 x^{2}

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      int 59049, dx = 59049 x

   Результат есть:
   frac{1048576 x^{11}}{11} + 786432 x^{10} + 2949120 x^{9} + 6635520 x^{8} + 9953280 x^{7} + 10450944 x^{6} + 7838208 x^{5} + 4199040 x^{4} + 1574640 x^{3} + 393660 x^{2} + 59049 x