Интеграл (cos(x))^3/(sin(x))^4 (dx)

Метод #1

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   frac{cos^{3}{left (x right )}}{sin^{4}{left (x right )}} = frac{cos^{3}{left (x right )}}{sin^{4}{left (x right )}}

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   frac{cos^{3}{left (x right )}}{sin^{4}{left (x right )}} = frac{cos{left (x right )}}{sin^{4}{left (x right )}} left(- sin^{2}{left (x right )} + 1right)

3. пусть
   u = sin{left (x right )}
   .

   Тогда пусть
   du = cos{left (x right )} dx
   и подставим
   – du
   :

   int frac{1}{u^{4}} left(u^{2} – 1right), du

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{1}{u^{4}} left(u^{2} – 1right), du = – int frac{1}{u^{4}} left(u^{2} – 1right), du

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         frac{1}{u^{4}} left(u^{2} – 1right) = frac{1}{u^{2}} – frac{1}{u^{4}}

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл
            u^{n}
            есть
            frac{u^{n + 1}}{n + 1}
            :

            int frac{1}{u^{2}}, du = – frac{1}{u}

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int – frac{1}{u^{4}}, du = – int frac{1}{u^{4}}, du

            1. Интеграл
               u^{n}
               есть
               frac{u^{n + 1}}{n + 1}
               :

               int frac{1}{u^{4}}, du = – frac{1}{3 u^{3}}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            frac{1}{3 u^{3}}

         Результат есть:
         – frac{1}{u} + frac{1}{3 u^{3}}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{1}{u} – frac{1}{3 u^{3}}
      $$

   Если сейчас заменить $$
   u
   ещё в:

   frac{1}{sin{left (x right )}} – frac{1}{3 sin^{3}{left (x right )}}