Интеграл sin(x)^2 (dx)

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   sin^{2}{left (x right )} = – frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int – frac{1}{2} cos{left (2 x right )}, dx = – frac{1}{2} int cos{left (2 x right )}, dx

      1. пусть
         u = 2 x
         .

         Тогда пусть
         du = 2 dx
         и подставим
         frac{du}{2}
         :

         int cos{left (u right )}, du

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
            $$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $$
               int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            frac{1}{2} sin{left (u right )}
            $$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         frac{1}{2} sin{left (2 x right )}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      – frac{1}{4} sin{left (2 x right )}

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      int frac{1}{2}, dx = frac{x}{2}

   Результат есть:
   frac{x}{2} – frac{1}{4} sin{left (2 x right )}
   $$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   frac{x}{2} – frac{1}{4} sin{left (2 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

frac{x}{2} – frac{1}{4} sin{left (2 x right )}+ mathrm{constant}

1
/
|
| 2 1 cos(1)*sin(1)
| sin (x) dx = – – ————-
| 2 2
/
0

0.27267564329358

/
|
| 2 x sin(2*x)
| sin (x) dx = C + – – ——–
| 2 4
/