Интеграл sin(x)^(3)/cos(x)^(5) (dx)

Метод #1

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   frac{sin^{3}{left (x right )}}{cos^{5}{left (x right )}} = frac{sin^{3}{left (x right )}}{cos^{5}{left (x right )}}

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   frac{sin^{3}{left (x right )}}{cos^{5}{left (x right )}} = frac{sin{left (x right )}}{cos^{5}{left (x right )}} left(- cos^{2}{left (x right )} + 1right)

3. пусть
   u = cos{left (x right )}
   .

   Тогда пусть
   du = – sin{left (x right )} dx
   и подставим
   du
   :

   int frac{1}{u^{5}} left(u^{2} – 1right), du

   1. пусть
      u = u^{2}
      .

      Тогда пусть
      du = 2 u du
      и подставим
      frac{du}{2}
      :

      int frac{1}{u^{3}} left(u – 1right), du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int frac{1}{u^{3}} left(u – 1right), du = frac{1}{2} int frac{1}{u^{3}} left(u – 1right), du

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            frac{1}{u^{3}} left(u – 1right) = frac{1}{u^{2}} – frac{1}{u^{3}}

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл
               u^{n}
               есть
               frac{u^{n + 1}}{n + 1}
               :

               int frac{1}{u^{2}}, du = – frac{1}{u}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               int – frac{1}{u^{3}}, du = – int frac{1}{u^{3}}, du

               1. Интеграл
                  u^{n}
                  есть
                  frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                  :

                  int frac{1}{u^{3}}, du = – frac{1}{2 u^{2}}
                  $$

               Таким образом, результат будет: $$
               frac{1}{2 u^{2}}

            Результат есть:
            – frac{1}{u} + frac{1}{2 u^{2}}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         – frac{1}{2 u} + frac{1}{4 u^{2}}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      – frac{1}{2 u^{2}} + frac{1}{4 u^{4}}
      $$

   Если сейчас заменить $$
   u
   ещё в:

   – frac{1}{2 cos^{2}{left (x right )}} + frac{1}{4 cos^{4}{left (x right )}}