100*x-350*y-100*z+250*a=-300 350*x+100*y-250*z-100*a=-900 200*z-250*a-100*x+250*y=300 250*z+200*a-250*x-100*y=500

$$250 a + – 100 z + 100 x – 350 y = -300$$

350*x + 100*y – 250*z – 100*a = -900

$$- 100 a + – 250 z + 350 x + 100 y = -900$$

200*z – 250*a – 100*x + 250*y = 300

$$250 y + – 100 x + – 250 a + 200 z = 300$$

250*z + 200*a – 250*x – 100*y = 500

$$- 100 y + – 250 x + 200 a + 250 z = 500$$

$$x_{1} = – frac{46}{15}$$
=
$$- frac{46}{15}$$
=

-3.06666666666667

$$y_{1} = – frac{8}{15}$$
=
$$- frac{8}{15}$$
=

-0.533333333333333

$$a_{1} = – frac{14}{15}$$
=
$$- frac{14}{15}$$
=

-0.933333333333333

$$z_{1} = – frac{8}{15}$$
=
$$- frac{8}{15}$$
=

-0.533333333333333

$$250 a + – 100 z + 100 x – 350 y = -300$$
$$- 100 a + – 250 z + 350 x + 100 y = -900$$
$$250 y + – 100 x + – 250 a + 200 z = 300$$
$$- 100 y + – 250 x + 200 a + 250 z = 500$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$250 a + 100 x – 350 y – 100 z = -300$$
$$- 100 a + 350 x + 100 y – 250 z = -900$$
$$- 250 a – 100 x + 250 y + 200 z = 300$$
$$200 a – 250 x – 100 y + 250 z = 500$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}- 100 x_{4} + – 350 x_{3} + 250 x_{1} + 100 x_{2} – 250 x_{4} + 100 x_{3} + – 100 x_{1} + 350 x_{2}200 x_{4} + 250 x_{3} + – 250 x_{1} – 100 x_{2}250 x_{4} + – 100 x_{3} + 200 x_{1} – 250 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}-300 -900300500end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}250 & 100 & -350 & -100 -100 & 350 & 100 & -250 -250 & -100 & 250 & 200200 & -250 & -100 & 250end{matrix}right] right )} = -2250000000$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{2250000000} {det}{left (left[begin{matrix}-300 & 100 & -350 & -100 -900 & 350 & 100 & -250300 & -100 & 250 & 200500 & -250 & -100 & 250end{matrix}right] right )} = – frac{14}{15}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2250000000} {det}{left (left[begin{matrix}250 & -300 & -350 & -100 -100 & -900 & 100 & -250 -250 & 300 & 250 & 200200 & 500 & -100 & 250end{matrix}right] right )} = – frac{46}{15}$$
$$x_{3} = – frac{1}{2250000000} {det}{left (left[begin{matrix}250 & 100 & -300 & -100 -100 & 350 & -900 & -250 -250 & -100 & 300 & 200200 & -250 & 500 & 250end{matrix}right] right )} = – frac{8}{15}$$
$$x_{4} = – frac{1}{2250000000} {det}{left (left[begin{matrix}250 & 100 & -350 & -300 -100 & 350 & 100 & -900 -250 & -100 & 250 & 300200 & -250 & -100 & 500end{matrix}right] right )} = – frac{8}{15}$$

Дана система ур-ний
$$250 a + – 100 z + 100 x – 350 y = -300$$
$$- 100 a + – 250 z + 350 x + 100 y = -900$$
$$250 y + – 100 x + – 250 a + 200 z = 300$$
$$- 100 y + – 250 x + 200 a + 250 z = 500$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$250 a + 100 x – 350 y – 100 z = -300$$
$$- 100 a + 350 x + 100 y – 250 z = -900$$
$$- 250 a – 100 x + 250 y + 200 z = 300$$
$$200 a – 250 x – 100 y + 250 z = 500$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}250 & 100 & -350 & -100 & -300 -100 & 350 & 100 & -250 & -900 -250 & -100 & 250 & 200 & 300200 & -250 & -100 & 250 & 500end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}250 -100 -250200end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}250 & 100 & -350 & -100 & -300end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 390 & -40 & -290 & -1020end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 390 & -40 & -290 & -1020end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 100 & -350 & -100 & -300 & 390 & -40 & -290 & -1020 -250 & -100 & 250 & 200 & 300200 & -250 & -100 & 250 & 500end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -100 & 100 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -100 & 100 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 100 & -350 & -100 & -300 & 390 & -40 & -290 & -1020 & 0 & -100 & 100 & 0200 & -250 & -100 & 250 & 500end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -330 & 180 & 330 & 740end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -330 & 180 & 330 & 740end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 100 & -350 & -100 & -300 & 390 & -40 & -290 & -1020 & 0 & -100 & 100 & 0 & -330 & 180 & 330 & 740end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}100390 -330end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 390 & -40 & -290 & -1020end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}250 & 0 & -350 – – frac{400}{39} & -100 – – frac{2900}{39} & -300 – – frac{3400}{13}end{matrix}right] = left[begin{matrix}250 & 0 & – frac{13250}{39} & – frac{1000}{39} & – frac{500}{13}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 0 & – frac{13250}{39} & – frac{1000}{39} & – frac{500}{13} & 390 & -40 & -290 & -1020 & 0 & -100 & 100 & 0 & -330 & 180 & 330 & 740end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{440}{13} + 180 & – frac{3190}{13} + 330 & – frac{11220}{13} + 740end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{1900}{13} & frac{1100}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 0 & – frac{13250}{39} & – frac{1000}{39} & – frac{500}{13} & 390 & -40 & -290 & -1020 & 0 & -100 & 100 & 0 & 0 & frac{1900}{13} & frac{1100}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{13250}{39} -40 -100\frac{1900}{13}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -100 & 100 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}250 & 0 & – frac{13250}{39} – – frac{13250}{39} & – frac{13250}{39} – frac{1000}{39} & – frac{500}{13}end{matrix}right] = left[begin{matrix}250 & 0 & 0 & – frac{4750}{13} & – frac{500}{13}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 0 & 0 & – frac{4750}{13} & – frac{500}{13} & 390 & -40 & -290 & -1020 & 0 & -100 & 100 & 0 & 0 & frac{1900}{13} & frac{1100}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 390 & 0 & -330 & -1020end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 390 & 0 & -330 & -1020end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 0 & 0 & – frac{4750}{13} & – frac{500}{13} & 390 & 0 & -330 & -1020 & 0 & -100 & 100 & 0 & 0 & frac{1900}{13} & frac{1100}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{1900}{13} + frac{1900}{13} & frac{1100}{13} – – frac{1900}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{3000}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 0 & 0 & – frac{4750}{13} & – frac{500}{13} & 390 & 0 & -330 & -1020 & 0 & -100 & 100 & 0 & 0 & 0 & frac{3000}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{4750}{13} -330100\frac{3000}{13}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{3000}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}250 & 0 & 0 & – frac{4750}{13} – – frac{4750}{13} & – frac{7600}{39} – frac{500}{13}end{matrix}right] = left[begin{matrix}250 & 0 & 0 & 0 & – frac{700}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 0 & 0 & 0 & – frac{700}{3} & 390 & 0 & -330 & -1020 & 0 & -100 & 100 & 0 & 0 & 0 & frac{3000}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 390 & 0 & 0 & -1196end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 390 & 0 & 0 & -1196end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 0 & 0 & 0 & – frac{700}{3} & 390 & 0 & 0 & -1196 & 0 & -100 & 100 & 0 & 0 & 0 & frac{3000}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -100 & 0 & – frac{-160}{3}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -100 & 0 & frac{160}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}250 & 0 & 0 & 0 & – frac{700}{3} & 390 & 0 & 0 & -1196 & 0 & -100 & 0 & frac{160}{3} & 0 & 0 & frac{3000}{13} & – frac{1600}{13}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$250 x_{1} + frac{700}{3} = 0$$
$$390 x_{2} + 1196 = 0$$
$$- 100 x_{3} – frac{160}{3} = 0$$
$$frac{3000 x_{4}}{13} + frac{1600}{13} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = – frac{14}{15}$$
$$x_{2} = – frac{46}{15}$$
$$x_{3} = – frac{8}{15}$$
$$x_{4} = – frac{8}{15}$$

a1 = -0.9333333333333333
x1 = -3.066666666666667
y1 = -0.5333333333333333
z1 = -0.5333333333333333