x+3*y-6*z=4 10*x-7*y+9*z=3 12*x+y-6*z=13

10*x – 7*y + 9*z = 3

12*x + y – 6*z = 13

1

$$z_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y – 6 z = 4$$
$$10 x – 7 y + 9 z = 3$$
$$12 x + y – 6 z = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}- 6 x_{3} + x_{1} + 3 x_{2}9 x_{3} + 10 x_{1} – 7 x_{2} – 6 x_{3} + 12 x_{1} + x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}4313end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 3 & -610 & -7 & 912 & 1 & -6end{matrix}right] right )} = -27$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{27} {det}{left (left[begin{matrix}4 & 3 & -63 & -7 & 913 & 1 & -6end{matrix}right] right )} = 1$$
$$x_{2} = – frac{1}{27} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 4 & -610 & 3 & 912 & 13 & -6end{matrix}right] right )} = 1$$
$$x_{3} = – frac{1}{27} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 3 & 410 & -7 & 312 & 1 & 13end{matrix}right] right )} = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y – 6 z = 4$$
$$10 x – 7 y + 9 z = 3$$
$$12 x + y – 6 z = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 3 & -6 & 410 & -7 & 9 & 312 & 1 & -6 & 13end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}11012end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 3 & -6 & 4end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -37 & 69 & -37end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -37 & 69 & -37end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 3 & -6 & 4 & -37 & 69 & -3712 & 1 & -6 & 13end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -35 & 66 & -35end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -35 & 66 & -35end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 3 & -6 & 4 & -37 & 69 & -37 & -35 & 66 & -35end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}3 -37 -35end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & -37 & 69 & -37end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & -6 – – frac{207}{37} & 1end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{15}{37} & 1end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{15}{37} & 1 & -37 & 69 & -37 & -35 & 66 & -35end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{2415}{37} + 66 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{27}{37} & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{15}{37} & 1 & -37 & 69 & -37 & 0 & frac{27}{37} & 0end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{15}{37}69\frac{27}{37}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{27}{37} & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{15}{37} – – frac{15}{37} & 1end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & -37 & 69 & -37 & 0 & frac{27}{37} & 0end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -37 & 0 & -37end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -37 & 0 & -37end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & -37 & 0 & -37 & 0 & frac{27}{37} & 0end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} – 1 = 0$$
$$- 37 x_{2} + 37 = 0$$
$$frac{27 x_{3}}{37} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 0$$

x1 = 1.00000000000000
y1 = 1.00000000000000
z1 = 1.447566071967798e-24

x2 = 1.00000000000000
y2 = 1.00000000000000
z2 = -4.342698215903395e-24

x3 = 1.00000000000000
y3 = 1.00000000000000
z3 = -3.618915179919496e-25

x4 = 1.00000000000000
y4 = 1.00000000000000
z4 = -1.447566071967798e-24

x5 = 1.00000000000000
y5 = 1.00000000000000
z5 = -7.237830359838992e-25

x6 = 1.00000000000000
y6 = 1.00000000000000
z6 = -3.101927297073854e-25

x7 = 1.00000000000000
y7 = 1.00000000000000
z7 = 0.0