Дано

$$z + x + y = 6$$

3*x – y + 3*z = 2

$$3 z + 3 x – y = 2$$

4*x + 3*y – z = 5

$$- z + 4 x + 3 y = 5$$
Ответ
$$x_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

$$z_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

Метод Крамера
$$z + x + y = 6$$
$$3 z + 3 x – y = 2$$
$$- z + 4 x + 3 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y + z = 6$$
$$3 x – y + 3 z = 2$$
$$4 x + 3 y – z = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{3} + x_{1} + x_{2}3 x_{3} + 3 x_{1} – x_{2} – x_{3} + 4 x_{1} + 3 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}625end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & 13 & -1 & 34 & 3 & -1end{matrix}right] right )} = 20$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{20} {det}{left (left[begin{matrix}6 & 1 & 12 & -1 & 35 & 3 & -1end{matrix}right] right )} = -1$$
$$x_{2} = frac{1}{20} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 6 & 13 & 2 & 34 & 5 & -1end{matrix}right] right )} = 4$$
$$x_{3} = frac{1}{20} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & 63 & -1 & 24 & 3 & 5end{matrix}right] right )} = 3$$

Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$z + x + y = 6$$
$$3 z + 3 x – y = 2$$
$$- z + 4 x + 3 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y + z = 6$$
$$3 x – y + 3 z = 2$$
$$4 x + 3 y – z = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 63 & -1 & 3 & 24 & 3 & -1 & 5end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}134end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 6end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -4 & 0 & -16end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -4 & 0 & -16end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 6 & -4 & 0 & -164 & 3 & -1 & 5end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & -5 & -19end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & -5 & -19end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 6 & -4 & 0 & -16 & -1 & -5 & -19end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -4 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & -4 & 0 & -16end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -4 & 0 & -16 & -1 & -5 & -19end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -5 & -15end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -5 & -15end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -4 & 0 & -16 & 0 & -5 & -15end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -5end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -5 & -15end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 & -4 & 0 & -16 & 0 & -5 & -15end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 1 = 0$$
$$- 4 x_{2} + 16 = 0$$
$$- 5 x_{3} + 15 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 3$$

Численный ответ

x1 = -1.00000000000000
y1 = 4.00000000000000
z1 = 3.00000000000000

   
4.33
Hardan
Учусь в Волгоградском Техническом Университете. Рефераты,курсовые,статьи, контрольные и др. выполняю уже в течении 4-х лет.