Обратная матрица – это такая матрица, при умножении которой на исходную матрицу получается единичная матрица. Чтобы найти обратную матрицу, выполним следующие шаги:
1. Запишем исходную матрицу A:
A = |1 -1 2|
|1 1 -2|
|1 1 4|
2. Напишем расширенную матрицу [A | I], где I – единичная матрица той же размерности:
[A | I] = |1 -1 2 | 1 0 0 |
|1 1 -2 | 0 1 0 |
|1 1 4 | 0 0 1 |
3. Применим элементарные преобразования строк для приведения левой части расширенной матрицы к единичной матрице:
– Разделим первую строку на значение элемента A[1][1]
– Вычитаем первую строку, умноженную на значение элемента A[2][1], из второй строки
– Вычитаем первую строку, умноженную на значение элемента A[3][1], из третьей строки
[A | I] = |1 -1 2 | 1 0 0 |
|0 2 -4 |-1 1 0 |
|0 2 2 |-1 0 1 |
– Вычитаем вторую строку, умноженную на значение элемента A[3][2], из третьей строки
[A | I] = |1 -1 2 | 1 0 0 |
|0 2 -4 |-1 1 0 |
|0 0 6 | 1 -1 1 |
– Разделим вторую строку на значение элемента A[2][2]
[A | I] = |1 -1 2 | 1 0 0 |
|0 1 -2 |-1/2 1/2 0 |
|0 0 6 | 1 -1 1 |
– Разделим третью строку на значение элемента A[3][3]
[A | I] = |1 -1 2 | 1 0 0 |
|0 1 -2 | -1/2 1/2 0 |
|0 0 1 | 1/6 -1/6 1/6 |
В левой части расширенной матрицы получилась единичная матрица, значит, правая часть будет обратной матрицей.
4. Извлекаем правую часть расширенной матрицы:
A^(-1) = |1 0 0 |
|-1/2 1/2 0 |
| 1/6 -1/6 1/6 |
Таким образом, обратная матрица для матрицы A равна:
A^(-1) = |1 0 0 |
|-1/2 1/2 0 |
| 1/6 -1/6 1/6 |
Проверим умножением исходной матрицы на обратную матрицу:
A * A^(-1) = |1 -1 2 | * |1 0 0 | = |1 0 0 |
|1 1 -2 | |-1/2 1/2 0 | |0 1 0 |
|1 1 4 | | 1/6 -1/6 1/6 | |0 0 1 |
Результат равен единичной матрице, что подтверждает правильность нашего решения.
Таким образом, обратная матрица для данной матрицы A равна:
A^(-1) = |1 0 0 |
|-1/2 1/2 0 |
| 1/6 -1/6 1/6 |