Для начала, обозначим точку Д как (х, у, z), где (х, у, z) – координаты точки Д.
Так как МВ перпендикулярна ВС и МВ перпендикулярна ВА, тогда мы можем сказать, что векторы МВ и МА ортогональны.
Вектор МВ: (x-0, y-0, z-0) = (х, у, z)
Вектор МА: (x-1, y-0, z-1) = (х-1, у, z-1)
Ортогональность векторов МВ и МА означает, что их скалярное произведение равно нулю:
(х, у, z) * (х-1, у, z-1) = 0
х(х-1) + у*у + z(z-1) = 0
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:
x^2 – х + y^2 + z^2 – z = 0
x^2 + y^2 + z^2 – х – z = 0
Таким образом, мы получаем уравнение плоскости, которую можно представить как МД: x^2 + y^2 + z^2 – х – z = 0.
Для доказательства того, что треугольник МВД прямоугольный, нам нужно показать, что вектор ВМ ортогонален плоскости МД.
Вектор ВМ: ( x, y, z) – (0, 0, 0) = (х, у, z).
Выразим это в виде скалярного произведения данного вектора с нормалью плоскости МД:
(х, у, z) * (х-1, у, z-1) = 0.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:
х(х-1) + у*у + z(z-1) = 0.
То есть мы снова получаем уравнение плоскости МД.
Таким образом, вектор ВМ ортогонален плоскости МД, что означает, что треугольник МВД прямоугольный.
Таким образом, мы доказали, что треугольник МВД прямоугольный для произвольной точки Д на отрезке АС.