Дано:
∫(2sinx-1)cosxdx
Решение:
Чтобы решить эту интегральную задачу, мы можем применить метод интегрирования по частям.
Шаг 1: Выберем u и dv:
u = 2sinx – 1
dv = cosxdx
Шаг 2: Найдем du и v:
du = (2cosx)dx
v = ∫cosxdx = sinx
Шаг 3: Применим формулу интегрирования по частям:
∫(2sinx-1)cosxdx = uv – ∫vdu
Шаг 4: Подставим значения u и v в формулу:
∫(2sinx-1)cosxdx = (2sinx – 1)sinx – ∫sinx(2cosx)dx
Шаг 5: Упростим полученное выражение:
∫(2sinx-1)cosxdx = (2sin^2x – sinx) – (-2∫sinxcosxdx)
Шаг 6: Проведем интегрирование:
∫(2sinx-1)cosxdx = 2sin^2x – sinx + 2∫sinxcosxdx
Шаг 7: Заменим sin2x на 1 – cos2x:
∫(2sinx-1)cosxdx = 2(1-cos^2x) – sinx + 2∫sinxcosxdx
Шаг 8: Упростим полученное выражение и объединим интегралы:
∫(2sinx-1)cosxdx = 2 – 2cos^2x – sinx + 2∫sinxcosxdx
Шаг 9: Применим формулу двойного угла для косинуса:
∫(2sinx-1)cosxdx = 2 – 2(1 – 2sin^2x) – sinx + 2∫sinxcosxdx
Шаг 10: Упростим и объединим все члены:
∫(2sinx-1)cosxdx = 2 – 2 + 4sin^2x – sinx + 2∫sinxcosxdx
Шаг 11: Окончательно упростим:
∫(2sinx-1)cosxdx = 4sin^2x – sinx + 2∫sinxcosxdx
Это окончательный ответ.