Дана система уравнений:
1) 3×1 + x2 – 2×3 = 1
2) x1 – 2×2 + 3×3 = 5
3) 2×1 + 3×2 – x3 = -4
Мы можем решить эту систему уравнений методом Гаусса-Жордана:
Шаг 1: Перепишем систему уравнений в матричной форме:
[3 1 -2 | 1]
[1 -2 3 | 5]
[2 3 -1 | -4]
Шаг 2: Используем элементарные преобразования строк, чтобы получить главные элементы в каждом столбце. Для этого вычтем из 2-ой строки 1-ую, умноженную на 1/3 и вычтем из 3-ей строки 2-ую, умноженную на 2/3:
[3 1 -2 | 1]
[0 -7/3 11/3 | 14/3]
[0 7/3 -5/3 | -23/3]
Шаг 3: Умножим 2-ую строку на -3/7, чтобы получить -1 в ячейке (2,2):
[3 1 -2 | 1]
[0 1 -11/7 | -2]
[0 7/3 -5/3 | -23/3]
Шаг 4: Используем элементарные преобразования строк, чтобы получить нули под главным элементом во 2-ом столбце. Вычтем из 1-ой строки 2-ую, умноженную на 1
[3 0 3/7 | 3]
[0 1 -11/7 | -2]
[0 7/3 -5/3 | -23/3]
Шаг 5: Используем элементарные преобразования строк, чтобы получить нули над главным элементом во 3-ом столбце. Вычтем из 1-ой строки 3/7 3-ей строку и вычтем из 2-ой строки -11/7 3-ей строку:
[3 0 0 | 12/7]
[0 1 0 | 1/7]
[0 0 1 | -2/7]
Шаг 6: Получили упрощенную систему уравнений:
3×1 = 12/7
x2 = 1/7
x3 = -2/7
Таким образом, решение системы уравнений:
x1 = 12/21 = 4/7
x2 = 1/7
x3 = -2/7