Дано неравенство 3^(x^2-x) ≤ (5^(x-1))^x.
1. Применим свойства степеней и логарифмов, чтобы упростить неравенство. Возьмем логарифм от обеих частей неравенства по основанию 3:
log3(3^(x^2-x)) ≤ log3((5^(x-1))^x).
2. Используя свойство логарифмов log_a(b^c) = c * log_a(b), применим это свойство к обоим частям неравенства:
(x^2-x) * log3(3) ≤ x * log3((5^(x-1))).
3. Упростим логарифмы, зная, что log_a(a) = 1 и log_a(a^b) = b:
(x^2-x) * 1 ≤ x * (x-1) * log3(5).
4. Сократим левую сторону неравенства, раскроем скобки и упростим правую сторону:
x^2 – x ≤ x^2 – x * log3(5).
5. Вычтем x^2 и x из обеих частей неравенства:
0 ≤ -x * log3(5).
6. Так как логарифм от числа больше 1 всегда положителен, то -x * log3(5) ≤ 0.
7. Таким образом, неравенство выполняется для всех значений x.
Ответ: неравенство 3^(x^2-x) ≤ (5^(x-1))^x верно для всех значений x.