Для решения данного уравнения, мы сначала приведем все логарифмы к одному основанию, а затем преобразуем исходное уравнение, чтобы избавиться от логарифмов.
1. Приведение логарифмов к одному основанию (основание x):
log_2(x^2) = log_x(64) подставим формулу для основания x: log_x(a) = log_b(a) / log_b(x), где b – произвольное положительное число, неравное 1:
log_2(x^2) = log_2(64) / log_2(x)
2. Преобразование исходного уравнения:
4 + log_2(x^2) = log_x(64) перепишем сумму как один логарифм:
log_2(2^2) + log_2(x^2) = log_2(64) / log_2(x) объединим логарифмы:
log_2(4 * x^2) = log_2(64) / log_2(x) применим свойство логарифма log_b(a) + log_b(c) = log_b(ac):
log_2(4 * x^2) = log_2(64 / x) применим свойство логарифма log_b(a) = log_b(c) -> a = c:
4 * x^2 = 64 / x
3. Решение получившегося уравнения:
Перенесем все в левую часть уравнения:
4 * x^2 – 64 / x = 0
Приведем выражение к общему знаменателю:
(4 * x^3 – 64) / x = 0
Упростим числитель:
4 * x^3 – 64 = 0
Разделим обе части уравнения на 4:
x^3 – 16 = 0
Разложим на множители разность кубов:
(x – 2)(x^2 + 2x + 8) = 0
4. Найдем значения переменной x:
Определяем два возможных решения:
x – 2 = 0 -> x = 2
x^2 + 2x + 8 = 0 – это квадратное уравнение, которое не имеет вещественных решений.
Итак, решение уравнения 4 + log_2(x^2) = log_x(64) является x = 2.