Для решения уравнения сначала приведем его к более удобному виду, а затем применим правила логарифмов.
1. Раскроем скобку в левой части уравнения, используя свойство логарифма loga(xyz) = loga(x) + loga(y) + loga(z):
Iog6(x2 – 2x) = Iog6(x(x – 2)).
2. Применим свойство Ioga(a) = 1 к Iog6(x) в левой части уравнения:
2 + Iog6(x – 2) = 1 – log6 2.
3. Вычтем 1 с обеих сторон уравнения и переместим все логарифмы с одной стороны, а все числа с другой стороны:
Iog6(x – 2) = -1 – log6 2.
4. Используем свойство Ioga(b) = -loga(b) для замены логарифма со знаком минус:
Iog6(x – 2) = log6 1/2 – 1.
5. Применим свойство логарифма loga(b^n) = n loga(b) к правой части уравнения:
Iog6(x – 2) = log6 (1/2)^(1) – 1.
Так как (1/2)^1 = 1/2, упростим уравнение:
Iog6(x – 2) = log6 (1/2) – 1.
6. Теперь обратимся к определению логарифма: если a^b = c, то loga(c) = b. Используя это свойство, можем убрать логарифмы, совместив y = x – 2 и z = 1/2:
6^(log6 (1/2) – 1) = x – 2.
Так как 6^(-1) = 1/6 и 6^(log6 (1/2)) = 1/2, упростим уравнение:
(1/6)(1/2) = x – 2.
7. Сократим дробь и упростим выражение:
1/12 = x – 2.
8. Добавим 2 к обеим сторонам уравнения:
1/12 + 2 = x.
9. Приведем к общему знаменателю:
1/12 + 24/12 = x.
10. Сложим дроби:
25/12 = x.
Итак, решение уравнения Iog6(x2 – 2x) = 1 – log6 2 равно x = 25/12.