На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
1. Запишем число 3/7 в виде десятичной дроби: 3/7 = 0.42857142857142855…
2. Заметим, что эта десятичная дробь является периодической, с периодом 428571.
3. Разложим десятичную дробь в ряд: 0.42857142857142855… = 0.4 + 0.02 + 0.008 + 0.0005 + 0.00004 + …
4. Перепишем каждый член ряда в виде степеней числа 4:
– 0.4 = 4^(-1)
– 0.02 = 4^(-2)
– 0.008 = 4^(-3)
– 0.0005 = 4^(-4)
– 0.00004 = 4^(-5)
– …
5. Объединим все члены ряда:
0.42857142857142855… = 4^(-1) + 4^(-2) + 4^(-3) + 4^(-4) + 4^(-5) + …
6. Запишем это в виде логарифма по основанию 4:
0.42857142857142855… = log4(4^(-1) + 4^(-2) + 4^(-3) + 4^(-4) + 4^(-5) + …)
7. Упростим выражение с помощью свойства логарифма: loga(b + c) = loga(b) + loga(c)
0.42857142857142855… = log4(4^(-1)) + log4(4^(-2)) + log4(4^(-3)) + log4(4^(-4)) + log4(4^(-5)) + …
8. Подставим значения степеней числа 4:
0.42857142857142855… = log4(4^(-1)) + log4(4^(-2)) + log4(4^(-3)) + log4(4^(-4)) + log4(4^(-5)) + …
= log4(1/4) + log4(1/16) + log4(1/64) + log4(1/256) + log4(1/1024) + …
= log4(1/4) + 2 * log4(1/4) + 3 * log4(1/4) + 4 * log4(1/4) + 5 * log4(1/4) + …
9. Заметим, что каждый член последовательности 1/4 в итоге даст нам степень числа 4. Таким образом,
0.42857142857142855… = 1 * log4(1/4) + 2 * log4(1/4) + 3 * log4(1/4) + 4 * log4(1/4) + 5 * log4(1/4) + …
10. Сгруппируем каждую степень числа 4:
0.42857142857142855… = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …) * log4(1/4)
11. Ряд (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …) представляет сумму натуральных чисел и может быть выражен как бесконечная арифметическая прогрессия со значением первого члена равным 1 и разностью 1:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = (1 + n) * n / 2, где n – количество членов ряда
12. Подставим это обратно в формулу:
0.42857142857142855… = [(1 + n) * n / 2] * log4(1/4)
13. Для установленной периодической последовательности [1 + n] * n / 2 вычислим значение суммы в бесконечном пределе n -> ∞:
0.42857142857142855… = (∞ * (∞ + 1) / 2) * log4(1/4)
14. Поскольку (∞ * (∞ + 1) / 2) стремится к бесконечности, а log4(1/4) = -1, получаем:
0.42857142857142855… = -∞
Таким образом, число 3/7 в виде логарифма по основанию 4 равно -∞.
